Corollaire. — Pour que le point M ayant pour coordonnées

x,y se trouve sur la droite passant par l'origine et par le point A, il

faut et il suffit que

ay — bx = o.

58. Extension des formules précédentes au cas où les segments ont une origine quelconque. — Soient a, b et a', b' les coordonnées de deux points A, A' (fig. 28), / la longueur du segment AA', a l'angle que ce segment fait avec O.2:: et |i = 0 — a; en projetant sur l'axe OL les contours OBAA' et OB' A' qui ont mêmes extrémités, X désignant l'angle {Ox, OL), on a

a cosX -f- b cos (À — 6)-+- /co9(X — a) = a' cos X -f- 6'cos(X — 6),

ou

(a' — a)cosX -t-(6' — b) cos(X — 0) = / cos(); — a).

Cette formule se déduit de la formule (i) en changeant a el b en a' — a et b' — b. Il est évident que toutes les conséquences de cette formule subsistent, pourvu qu'on fasse, s'il j a lieu, les mêmes changements. Ainsi, en particulier,

Z2 = (a'— ay + ib'— bY-\-%{a'— a){b'— b)cos^.

De même, pour que le point M ayant pour coordonnées x, y soit sur la droite AA', il faut et il suffit que les segments AM et AA' aient même sens ou des sens opposés; la condition cherchée est donc

ou, en simplifiant,

{b — b')x —{a — a')y -+■ ab' — èa'= o.

Coordonnées du point qui divise un segment dans un rapport donné.

59. Soient {fig. 29) Xi , y, et x^^y^ les coordonnées des points M< , Ma et x,y les coordonnées du point P tel que

Fig. 29.

0 TItj p

or

donc

d'où

De même,

PMi pMI

PM,+ XPM2 = o.

Soient m,, rrii, p les projections de M,, Ma, P sur x'x, ces projections étant faites parallèlement à l'axe des y. On a, en gtandeur et signe,

p/rij FM,