PM
pmi = Xi — X, pm^ = X2 — X,
— Zl±2-^-
Pour plus de symétrie on peut poser X = ^» de sorte que
on aura alors
En particulier, si P est le milieu de M, Mo, on a ). = i ou )., = Ao 5 donc les coordonnées du milieu de MiMo sont
y\-^yt
Si X varie d'une manière continue de — 00 à -t- co, le point P décrit la droite M1M2 tout entière. De — i à o, le point P décrit le segment infini R'Mj; de o à -i- x> le segment Mj M2 et de — 00 à — i le segment M2 R.
Équation d'une courbe plane. — Exemples.
60. Considérons une courbe plane et deux axes de coordonnées tracés dans son plan {fig. 3o). Une parallèle à l'axe des y convenablement choisie rencontre celte courbe en des points M, M', . . . que sa définition permet de déterminer. Si l'on désigne par x^ y les coordonnées de l'un quelconque de ces points, il y a entre ces deux variables une relation dépendant de la nature de la courbe considérée, puisque, x étant donné, on en déduit poury ~ôj des valeurs déterminées. Cette relation, que nous supposerons équivalente à la définition géométrique de la courbe, se nomme l'équation de cette courbe. Ce qui précède s'applique d'ailleurs à un système quelconque de coordonnées. Nous allons étudier quelques exemples simples.
61. Équation du cercle. — Si l'on prend pour pôle le centre d'un cercle de rayon R, l'équation de ce cercle, en coordonnées polaires, est évidemment
4o CHAPITRE I.
car les deux points ayant pour coordonnées (o = a, p = R et oj = a.
sont symétriques par rapport au pôle.
Si l'on nomme £C, y les coordonnées rectilignes d'un point quelconque M d'un cercle de rayon R et dont le centre C a pour coordonnées a, 6, les axes faisant un angle 9, on a
(37 — a)2-i-(j — è)2-i-2(a7 — a)(v — è)cose = R2,
puisque cette équation exprime que MC = R. On a ainsi obtenu V équation du cercle donné. Si les axes sont deux diamètres rectangulaires du cercle, on doit poser Q = -, <?, = ^ = oet l'équation du cercle rapporté à ces deux diamètres est
x^->ry^= R2.
62. Equation de l'ellipse rapportée à ses axes de symétrie. — L'ellipse est le lieu des points d'un plan dont la somme des distances
à deux points fixes, situés dans ce plan, et appelés foyers, est constante.
Prenons pour axe des x la droite qui passe par les deux foyers F, F' et pour axe des jK la perpendiculaire au milieu de FF' {/ig- 3i); il résulte immédiatement de la définition de l'ellipse que ces deux droites sont des axes de symétrie de cette courbe. Soit M un point quelconque de l'ellipse considérée; on a, par définition,
Fi
ce-
MF-f-MF'= 2a,
2 a désignant une longueur donnée. Désignons par x, y les coordonnées de M, par c l'abscisse de F et par — c celle de F'; en remplaçant MF et MF' par leurs expressions en fonction de .r, y et c, l'équation (i) devient
v/(a7 — c)2+^2-i- /(*•■+- cy--^y^ = 2a.
Pour rendre cette équation rationnelle, élevons les deux membres au carré, après avoir fait passer le premier radical dans le second
membre; après simplifications on obtient
a <J{x — c)'^ -h y- = a^ — ex.
Elevant de nouveau les deux membres au carré et simplifiant
Le côté FF' devant être plus petit que la somme des deux autres côtés du triangle MFF', on doit supposer 2c<; aa; nous poserons a^ — c^=i &2, ce qui permet d'écrire l'équation trouvée sous la forme
OU encore
En réalité, on peut craindre que cette équation soit trop générale, car, en appliquant le calcul précédent à l'une quelconque des équations,
±MFdz]VlF'=2a,
on serait parvenu au même résultat.
Je dis que, si les coordonnées d'un point M vérifient l'équation (3), la somme des distances de ce point aux deux points F, F' est égale à ia. En effet, on ne peut supposer que
— MF — MF'=2a,
puisque les deux membres ont des signes contraires. Soit pour fixer les idées MF^MF'; on ne peut, pour une raison analogue, supposer que
