MF — MF
Je dis que l'on n'a pas non plus
MF'— MF = 2a, car, si le point M est sur l'axe des x, extérieur au segment FF', on a
MF'— MF = 2 c, pour toute autre position
MF— MF<2c.
Cela est évident si le point M est sur l'axe des x, entre F et F', et quand M n'est pas sur l'axe des x, le côté FF' du triangle MFF' est plus grand que la différence des deux autres côtés ; or 2 c <! 2 a, donc dans tous les cas MF' — MF <^ia. Il ne reste donc plus de possible que l'équation (i). Il faut conclure de cette discussion que les équations au carré n'ont introduit aucune solution réelle étrangère.
03. Remarque. — On trouve immédiatement MF'2 — MF2= 4c^; donc, en tenant compte de l'équation (1),
(4) MF'— MF=— :r.
En combinant paraddition et soustraction les équations (i) et (4), on obtient
(5) I\IF'=a+— , MF = a— — .
Les rayons vecteurs MF, MF' sont donc des fonctions linéaires de l'abscisse du point M.
En partant de l'une quelconque des équations (5), on obtient très simplement l'équation (4).
6i. Si l'on pose MF = m, MF' = p, l'équation de l'ellipse, en coordonnées
bivectorielles, est
Si l'on nomme w et 10' les angles MFF' et MF' F, on trouve
Enfin on a encore
(0 w a — c tang — tang — =
cos — = ■
65. Équation de V hyperbole rapportée à ses axes de symétrie. — L'hjperbole est le lieu des points d'un plan dont la différence des distances à deux points fixes situés dans ce plan et appelés foyers est constante.
Nous prendrons encore pour axe des x la droite passant par les deux fojers F, F' et pour axe des y la perpendiculaire élevée au
PRËLDILNAIKES. 43
milieu de FF' {Jlg. Sa). Ces droites sont évidemment des axes de symétrie. En désignant par 2« la dififérence constante des rayons vecteurs MF, MF', c et — c étant les abscisses des foyers, on obtiendra, en désignant par x et y les coordonnées d'un point M de l'hyperbole, l'équation
(a2 c2)a72-t-aîj2 = a«(a2— c2).
Mais, pour que le triangle MFF' existe, il est
nécessaire de supposer a << c; on est ainsi conduit à poser
«2— c2 = — ^»2, ce qui donne
Fig
fi
OU
On vérifie comme dans le cas de l'ellipse que les élévations au carré n'ont introduit aucune solution réelle étrangère.
66. En posant MF = m, MF'= v, il faut deux équations pour représenter toute la courbe. L'équation
représente la branche dont tous les points ont une abscisse positive; l'équation
u — V =^ ia
représente l'autre branche.
En posant MFF'= w, MF'F = w', on a de même pour chacune de ces deux branches les équations
tang —
tang-
tang —
tans-
Enfin, comme pour l'ellipse
COS— = --:=■ 2 /lÛ'
67. Equation de la parabole rapportée à son axe et à la tangente au sommet. — La parabole est le lieu des points d'un plan
situés à égales distances d'un point fixe appelé foyer et d'une droite fixe appelée directrice, le foyer et la directrice étant dans le plan donné.
Prenons pour axe des x {fig- 33) la perpendiculaire abaissée du foyer sur la directrice, l'origine étant à égale distance du foyer et de la directrice, et l'axe des y étant parallèle à la directrice. ^Soient x^ y les coordonnées d'un point M de la parabole considérée; si l'on pose DF = p, on a
Fig. 33.
MF
or, par définition,
donc
PM = PQ + QM =
y^ = ipx.
- -f-ar;
Telle est l'équation cherchée.
Si l'on prend pour coordonnées MF = a, PM = v, l'équation de la parabole est u = ç.
68. Les trois courbes : ellipse, hyperbole et parabole sont nommées sections coniques. On les obtient, en effet, en coupant par un plan un cône de révolution. Si l'on considère deux sphères inscrites à un cône de révolution, un plan tangent commun à ces deux sphères coupe le cône suivant une ellipse ou une hyperbole ayant pour foyers les points de contact du plan sécant et des deux sphères. Un plan parallèle à un plan tangent au cône le coupe suivant une parabole [voir, pour la méthode de Dandelin, le Cours de Géométrie de MM. Rouchéet de Comberousse (')].
69. Les exemples que nous venons de traiter suffisent pour faire comprendre comment on peut déduire l'équation d'une courbe de sa définition géométrique. Réciproquement, une équation à deux variables /(:r, j^) = o, définit en général une courbe. Supposons,
(') Paris, Gauthier- Villars.
PRÉLINmAIRES. 45
pour fixer les idées, que a: el y désignent des coordonnées cartésiennes, et supposons, pour plus de simplicité, que/(^,j^) soit un polynôme entier. Soit Xq une valeur réelle attribuée à x, l'équation/"(jCq, j) = o admet un nombre déterminé de racines; soit^o l'une d'elles, que nous supposerons réelle. Au système ^Tq, j'o correspond un point M. Or, si l'on fait varier Xq d'une manière continue, yo varie aussi d'une manière continue, et par suite le point M décrit un arc de courbe.
Chacune des déterminations réelles de y correspondant à une valeur donnée à x fournit ainsi un arc de courbe; l'ensemble de tous ces arcs constitue une courbe, représentée par l'équation donnée.
En résumé, une courbe plane est le lieu géométrique de tous les points dont les coordonnées vérifient une équation donnée/(^, j^) = o.
Il convient d'ajouter que, si l'on donne deux équations distinctes f{^, y) = o, fi{x, y) = o, il n'y a qu'un nombre déterminé de points dont les coordonnées vérifient le système de ces deux équations, puisque ce système n'a qu'un nombre déterminé de solutions.
On en conclut qu'une courbe donnée ne peut avoir deux équations distinctes, par rapport à un même système d'axes de coordonnées et que par suite, quel que soit le procédé employé pour trouver l'équation d'une courbe, on doit toujours trouver la même équalion.
Le but principal de la Géométrie analytique plane est de ramener l'étude des courbes planes à celle des équations qui les représentent.
EXERCICES
4. Former l'équation de la perpendiculaire au milieu d'un segment AB, connaissant les coordonnées de ses extrémités.
On considère cette droite comme le lieu des points à égales distances de A et de B.
2. Etant donnés trois points en ligne droite A, B, G et un point M quelconque, démontrer la relation suivante, due à Stewart
ÂM^BG -<- B\Î'g -4- GM^ÂB 4- AB BG GÂ" = o.
En déduire une relation entre les puissances de trois points en ligne droite, par rapport à un cercle.
3. D'un point 0, on mène une transversale variable sur laquelle on prend, à partir du point P où elle rencontre une droite fixe, des segments
PM = PM'=a,
a désignant une longueur constante. Former l'équation du lieu des points M^ M' (conchoïde de Nicomède).
4. Une droite roule sans glisser sur une circonférence donnée; trouver le lieu décrit par un point de cette droite (développante de cercle). On prendra des coordonnées polaires.
5. En supposant que la quantité de lumière provenant d'une source lumineuse reçue par un point M soit donnée par la formule I = — , /■ étant la
distance de M à la source, trouver l'équation du lieu des points également éclairés par deux sources différentes A, B ; a, 6 étant les quantités de lumière reçues à l'unité de distance de chacune de ces sources.
6. Un fil ayant la longueur de la circonférence d'un cercle est enroulé sur ce cercle de manière que ses deux extrémités coïncident avec un point A. On le déroule en le tendant de manière que la partie déroulée ait la forme d'une droite perpendiculaire au diamètre passant par A; lieu de l'extrémité du fil.
Transformation des coordonnées rectilignes.
70. La transformation des coordonnées consiste dans le problème suivant :
Etant donnée V équation d'une courbe rapportée à un système particulier de coordonnées, trouver l'équation de la même courbe rapportée à un autre système de coordonnées.
Le problème sera évidemment résolu si l'on parvient à exprimer les coordonnées x.,y d'un point quelconque M du plan par rapport au premier système en fonction des coordonnées x' ., y' du même point par rapport au nouveau système. Effectivement, si l'équation de la courbe rapportée au premier système est
et si l'on a trouvé
iP = cp(a?', j'), y = <i^{x',y'),
l'équation de la même courbe par rapport aux nouveaux axes sera
Nous supposerons qu'il s'agisse de coordonnées rectilignes. Il convient de distinguer plusieurs cas.
71. PnEMiEiicAs. — Cliangement d'oj'igine, les axes conservant leurs directions primitives.
Supposons que les axes primitifs 0^7, Oy {Jig. 34) subissent une translation qui leur fasse prendre la position 0,a:|, 0\y\^ ces deux demi-droites étant respectivement parallèles à Ox, Oy et de mêmes sens. Soient Xi^ y, les coordonnées de la nouvelle origine O,, par rapport aux anciens axes. Projetons sur Ox, parallèlement à O^, la brisée OOiM et sa résultante OM; on obtient
Fig. 3',.
Or
(OM);, = (00,);r + (0,M)^.
donc
On trouve de même
Changement de directions des axes sans
