Deuxième cas. — changement d'origine
Soient 0:r, O^les anciens axes; O^i, Oy^ les nouveaux (^^.35) Ces derniers sont déterminés si l'on donne les angles (O^, 0^,) = a et (Ox, Oyi)=^. Projetons sur un axe OL faisant avec Ox un angle égal à X, les contours OPM et OPi M des coordonnées anciennes et des coordonnées nouvelles d'un même point M; ces contours ayant mêmes extrémités ont mêmes projections : donc
r cosX -t-j cos(X — 0) = a7'cos(X — 0L)-^y cos{\ — ^). En prenant successivement X = 0 — -etX=-> on trouve
a7'sin(0 — a)-f-^'sin(l ~~ sinO
r'sina -f-/'sinp ^ ~ snTë
Cas particulier . — Le système primitif est rectangulaire et on le fait tourner d'un angle a autour de l'origine; alors on doit poser
G = -, % — a.-\--; on obtient ainsi (4) a7 = a7'cosa — ^'sina, y = x'sintx -\-ycosoL.
73. On peut définir les nouveaux axes en donnant les paramètres
directeurs a, b de Oxt et les paramètres a',
''■ ■ b' de Ovi. Soient / et /' les distances à
j/A / l'origine des points directeurs A(a, b),
\ / /V^^^ A'(a', b') {fig. 36). Projetons sur Ox^ pa-
/' /\ iJi^yi'^' rallèlement à Oy, les contours OPM,
L^.yi^h^l OP,M des coordonnées de M; ces con-
' tours ont mêmes extrémités, donc
(ôp)^+(pmX = (ôp;)^+(p7m)^.
Or
(ÔP).r = a7 et (PM).r = o.
D'autre part, (OA)j;=a, donc (OPi)a;= y .r,. Pareillement
(P,M),= ^jK,
. Donc
de même
II est d'ailleurs aisé de déduire ces formules des formules (3) et (4), En effet, ces dernières sont linéaires et homogènes par rapport à x' t\. y' \ on peut donc poser
x=px'-^ qy',
y = rx'-\- sy' .
Appliquons ces formules au point A; ou obtient a=^pl, b = ri ou
P = j> f = j' En les appliquant au point A', on a de même o = — , 5 = — . Cl II
Cas particulier .•/=/'= 1 ; les formules deviennent
(5) x = ax'-\-a'y', y = bx'-h b'y'
avec les conditions
(6) a2-t- 62( 2<^èeos6 = I, a'^H- 6'^ -t- aa'^'cosO = i.
En outre, si l'on pose (0:r,, Oy,) = ^', on a sinO'= (ab' — ba') sinO
et, par suite,
ab' — ba' ^ o.
7-4. Troisième cas. — Transformation générale : on change V origine et les directions des axes.
Soient 0:r,OjK les anciens axes,0,a:^,, 0)JKi les nouveaux (y?«-. 3^); on donne les coordonnées :r),jKj de O, par rapport aux anciens axes et les angles a, ^ que O^Xk et 0^y^ font avec Ox. Transportons les anciens axes parallèlement à eux-mêmes en O, x<i^ 0^y2\ en appelante", y" les coordonnées d'un point M par rapport aux axes 0)J72j ^kJ'ï et ;r, y les coordonnées anciennes, on a (premier cas)
Fig. 37.
a? = iPi -f- 37 ,
r =ri+7
puis, en remarquant que 0\X^ et 0^y\
font avec O^x-i les mêmes angles qu'avec O^, on a (second cas)
a7'sin(G — «)-+- j''sin(0 — !3)
-jK'sinp
donc, finalement, les formules générales sont
.r'sinfO — a)-l-7'sin(8 — P)
(8) X =^ Xx
y=yi^
ysinp
sinO
Les nouveaux axes peuvent être définis par des points directeurs A{a,b), A' (a', 6') les demi-droites 0,.r, et 0,j', étant respectivement
parallèles aux demi-droites OA, OA' et de mêmes sens qu'elles. Si l'on
prend sur O, a;, le point B tel que Oj B =: OA et sur 0^y^ le point B'
tel que O, B' = OA' les coordonnées de B par rapport aux axes O, Xzj
0,^2 seront égales à « et 6 et celles de B' à a' et b'. Donc, en sup-
NiEAVENGLOwsKi. — G. an., I. 4
5o CHAPITRE I.
posant OA = 0A'=: i , on a
x" ^^ ax' -\- a'y\ JK"= bx' -h b' y\ et, par suite, les formules générales sont
(9) X = ax'-^ a'y-\- a", y = b x' -\- b' y' -^ b"
en écrivant, pour plus de symétrie, d' au lieu de œ\ et b" au lieu de^, et en conservant les conditions (6) et (>;).
75. Théorème. — Quand on conserve V origine des coordonnées et qu!on change seulement les directions des axes, V expression
reste invariable.
On peut d'abord remarquer, en effet, que cette expression représente le carré de la distance du point M.(x,y) à l'origine. On peut établir la proposition au moyen des formules de transformation; il s'agit de prouver, en effet, que
x^ + ixy cos6 +/2 ^(^ax'-h a'y'y -h 2(aa:'-t- a'y')(bx' -\- b'y') cos6'
Or, dans le second membre, les coefficients de x'"^ et de j/^ sont égaux à l'unité en vertu des équations (6); le coefficient de 2.2?'^' est
égal à
aa' -\- bb' -+-{ab'-{- ba') cos6,
c'est-à-dire cos9'.
76. Théorème fondamental. — Soity(^, y) = o l'équation d'une courbe. Si l'on effectue la transformation des coordonnées la plus générale, on obtient
f{x,y)^f{ax'-^a'y-^a\ bx'^Vy^b")
et l'équation de la courbe dans le nouveau système est
f{ax'^ a'y'^ a", bx'-+- b'y'-^ b") = o.
Il s'agit d'établir que la transformation des coordonnées rectilignes n'altère pas le degré d'une équation algébrique.
En effet, soit m le degré d'un polynôme entier en x et jk, /{x., y)
PRËLIMINAIHES. 5l
et soit m' le degré du polynôme obtenu
f{ax'-\- a'y'-¥ a, bx'-hb'y'-i- b").
Un terme quelconque du polynôme donné, h.x^y^, devient
k{ax'-^ a'y+ a"f{bx'^ b'y'-h 6")P;
le terme considéré est donc remplacé par une somme de termes dont les degrés ne peuvent pas surpasser a + [S et à plus forte raison m, puisque a+^^m. Donc, quelles que soient les réductions, le degré m' du nouveau polynôme ne peut surpasser m. Or on sait que ab' — ba'^o; donc on peut exprimer x' et y' en fonctions linéaires de ^ et de y et si l'on effectue cette substitution inverse sur le polynôme en se' ^ y' , on retrouvera identiquement j/'( a:, jk)» ce qui prouve que m ne peut surpasser m' ', donc m = m' . La proposition est générale et s'applique à toute substitution linéaire de module différent de zéro.
Classiâcation des courbes planes.
77. Nous avons obtenu les équations de l'ellipse, de l'hyperbole et de la parabole rapportées à des axes particuliers; si, à l'aide d'une transformation de coordonnées, on rapporte ces courbes à des axes quelconques, on obtiendra pour chacune d'elles une équation dont le premier membre f sera un pol}'nome entier du second degré. D'une manière générale, si l'équation d'une courbe plane rapportée à des axes particuliers est algébrique et de degré m, pour obtenir l'équation de la même courbe rapportée à d'autres axes, il suffit évidemment d'effectuer une transformation de coordonnées; la nouvelle équation sera encore algébrique et de même degré. D'après cela, on partage les courbes planes en deux classes. On appelle courbe plane algébrique toute courbe plane dont l'équation, rapportée à deux axes tracés dans son plan, peut se mettre sous la forme f{oc^ y) = o, le premier membre étant un polynôme entier en X et y. Si ce polynôme est de degré m, on dit que la courbe est d^ordre m ou de degré m. Ainsi l'ellipse, l'hyperbole, la parabole sont des courbes algébriques du second degré. Pour abréger le langage, on dit souvent : courbe de degré m ou courbe d'ordre m, au lieu de courbe plane algébrique de degré ou d'ordre m.
Les courbes planes non algébriques sont appelées transcendantes.
78. Théorème. — Une courbe de degré m est coupée par une droite quelconque en m points.
En efFet, rapportons la courbe à deux axes dont l'un, l'axe des x par exemple, soit la droite donnée. La courbe ayant alors pour équation/"(^^j") = o, les abscisses des points communs à l'axe des .r, et à cette courbe sont les racines de l'équation y(;zr, o)= o; à chaque racine de cette équation, qui est au plus du degré m, correspond un point commun à la courbe et à l'axe des x. Donc le nombre de ces points est au plus égal à m.
Si l'on considère l'équation la plus générale de degré m,
l'équation y(^, 0)^0 sera une équation complète et de degré m. Si les m racines de cette équation sont réelles et distinctes, il y a //i points d'intersection. Lorsque l'équation précédente a une racine ^0 de degré p de multiplicité, nous dirons que la courbe et l'axe des x ont p points communs confondus avec le point {x^, o). Si Xq est une racine imaginaire, nous dirons, par convention, que la courbe et l'axe des x ont un point imaginaire commun, et si l'ordre de multiplicité est p, p points imaginaires communs confondus en un seul. Les coefficients étant supposés réels, à la racine x^ correspond sa conjuguée, et par suite p nouveaux points imaginaires communs. Enfin, si le degré de l'équation/(^, 0)= o s'abaisse de q unités, on dit que q racines de cette équation sont infinies et que la courbe et l'axe des x ont q points communs à l'infini. A l'aide de toutes ces conventions, on peut dire que toute droite située dans le plan d'une courbe d'ordre m coupe cette courbe en m points réels ou imaginaires, distincts ou non, à dislance finie ou à l'infini.
79. Corollaire. — Si une droite a plus de m points communs avec une courbe de degré m, celle-ci se décompose nécessairement en cette droite et une autre courbe de degré moindre.
En effet, prenons la droite pour axe des x; si l'équationy(:r, o) = o admet plus de m racines, son premier membre est identiquement
PRÉLIMmAlRES. 53
nul; ce qui exige que f{x, y) contienne y en facteur et soit de la ioTvne yPfi {x, y) ; l'équation donnée se décompose donc enyP = o
et/,(^,r) = o-
80, Conditions pour que deux équations algébriques représentent la même courbe. — Supposons que les équations algébriques
représentent la même courbe; alors une sécante quelconque, par exemple, une parallèle à l'axe des y, ayant pour équation x=^Xq, coupe les deux courbes aux mêmes points; en d'autres termes, les équations
/{^o,y) = o, g{xQ,y) = o
doivent avoir les mêmes solutions, avec les mêmes degrés de multiplicité. On sait [Alg., II, 219) que la condition pour qu'il en soit ainsi est que
\ étant indépendant de y; il doit en être ainsi quel que soit ^o • donc
A t'ianl indépendant dey. Or les équations
/(^,JKo) = o, g{x,yQ) = o
doivent aussi être équivalentesj et cela quel que soit ro : donc \ est indépendant de x et de y. Cela revient à dire que les polynômes f{x^y) el g(x, y) doivent être de même degré et avoir les coeffîcienls des termes semblables proportionnels. La réciproque est évidente.
De là cette conséquence. Soient /(.r, r) = o et F(.2;', jk') = o les équations d'une même courbe rapportée à deux systèmes d'axes difl'ércnts. Par la transformation des coordonnées on obtient /{x, y) ^f\ (x' ,y') : l'équation de la courbe est donc aussi, dans le nouveau système, /, (:r', j') = o , donc, "k étant une constante /, {x-', y') = lF{x'y), et, par suite, f{x, y) = lF{x', y').
81 . Nombre des termes de l'équation d'une courbe de degré m. — On peut mettre l'équation de degré m sous la forme
