CHAPITRE I. — PRÉLIMINAIRES

^p{^i y) désignant un polynôme homogène de degré p. Le nombre des termes est donc

{m -\- \) -^ m -+- {m — i) +. . .-l- 2 -i- i ou .

Ainsi, par exemple, l'équation d'une courbe du second degré renferme six termes :

A 372 -1- o B a^K -i- C jK^ -f- 2 D^ -t- 2 EjK + F = o .

EXERCICES

1. On fait tourner autour de l'origine, d'un angle a, un point M ayant pour coordonnées rectangulaires x, y, trouver les coordonnées du point M' obtenu.

Si l'on considère les axes OX', OY' tels que (OX, OX') = a; par rapport à ces axes, M' a pour coordonnées {x, y); il suffit donc de faire tourner le système OX', OY' de l'angle — a.

On peut encore remarquer que, si l'on pose

z =^ X -{-yi, z' = x' -\- y i, on a

z' == ^(cosa -4- i sina).

Résoudre la même question avec des axes obliques.

2. Etant donnés n points Ai(xi, yi), A2 (372,^^2)7 •••> ^ni^iu yn), déterminer la position du point Ao(^O)JKo) dont les coordonnées satisfont aux équations

n(n — i) n(Ti — i){n — 2) Xo — nxi-\ 372 -^, ^34-. . .-\-(—i)'^Xn = 0,

n(n — i) 71 1 n — Ofn — 2) yo — nyi + - — ^-^ — JK2 ^ Y'ij' ^3 4- - • • + ( — I )"r« = o.

Démontrer que la position de ce point est indépendante du choix des axes des coordonnées.

3. Etant donnés m points Ki{xi, y^), h.^{x-i, y^), ..., A„i(x„t, ym), soient Bi, B2, B,n les points qui divisent A1A2, A2A3, ..., A„,iA,„, A,„Ai dans le rapport — n; Gj, G2, . . ., G/„ les points qui divisent Bj B2, B2B3, .. ., B/,iBi dans le même rapport, et ainsi de suite. Les coordonnées du q'''"'^ point du jt)'"""® groupe de m points sont

xi(\-h nx)P yi(i-\-'ny)P (i-t-n)-/ ' (1 + n)i> '

pourvu que l'on remplace x', yf par Xr, yr, f étant le reste de la division de t par m.

(Neuberg.)

Équation de la ligne droite.

82. Théohème. — V équation d' une Ligne droite en coordonnées rectilignes est du premier degré.

Soient Ox, Oy deux axes de coordonnées, AB une droite située dans leur plan et Z'Z la perpendiculaire à AB menée par l'origine {Jig- 38). La droite AB est déterminée si l'on connaît la direction Z'Z et le point H où AB rencontre cette droite. Il suffit donc de connaître la longueur OH et l'angle que OH fait avec Ox\ il est préférable de choisir sur Z'Z un sens positif et d'évaluer le segment OH compté avec le signe + s'il est dirigé dans le sens positif; avec le signe — , quand il est dirigé dans le sens contraire. Soit p la valeur algébrique de OH. Pour fixer les idées, supposons que OZ soit la demi-droite positive et nommons a l'angle que cette demidroite fait avec Ox. On voit que p et x sont les coordonnées polaires du point H, Ox étant l'axe polaire.

Cela posé, abaissons MC perpendiculaire à AB et soit d la mesure algébrique du segment CM, «tétant positif quand CM a le même sens que OZ, et négatif dans le cas contraire. Projetons sur OZ le contour ODM des coordonnées de M et le contour équivalent OHCM; si l'on appelle x,y les coordonnées de M, on obtient, en écrivant que les projections des deux contours sont égales,

X cosa -\-y cos(0 — (x) = p -{- d,

d'où

(i) </ = a? cosa H-j' cos(6 — a) — p.

Pour que le point M soit sur AB, il faut et il suffit que o? =: o : donc l'équation de AB est

(2) iP cosa -f-jK cos(6 — a) — p^=o.

83. Cas particuliers. — i" Quand les axes sont rectangulaires, l'équation de AB est

(3) a?cosa -f-jK sina — p = o.

2° Pour que AB passe par l'origine, il faut et il suffît que p = o; son équation est alors de la forme

a? cosa +/ cos(0 — a) = o.

3° La perpendiculaire à O^ menée par le point (xq, o) a pour

équation