X -\- y cos6 — 37o = o
Il suffit, en effet, de faire coïncider OZ avec O^ et de remarquer alors que p = Xq^ a = o.
4° Pareillement, la perpendiculaire à l'axe des y menée par ce point o, y^ a pour équation
X cos6 -{-y — jKo = o.
84. Réciproquement, toute équation du premier degré entre Les coordonnées rectilignes x,y, représente une droite.
Soit
(4) Aa7-f-B7 + C=o
une équation du premier degré à deux variables x,y.l\ sera démontré que l'équation (4) représente une droite si l'on peut déterminer a et p de façon que les coefficients de cette équation soient proportionnels à ceux de l'équation (2); cela revient à déterminer "k, a, p de façon que
cosa = XA, cos(9 — a)=XB, —p — \C.
En appelant [3 l'un des angles que Oy fait avec OZ, on a
cos(6 — a) = cosP ;
nous sommes donc ramenés à trouver une demi-droite OZ dont les cosinus directeurs soient proportionnels à A et B; par suite (51)
. esinO
en désignant par R le radical arithmétique y/A^ + B- — 2 AB cosÔ. On a ainsi
AsinO ,„ , BsinÔ C sinO
cosa = £ — — » cos(0— a) = e — ^ — , — jo = e — - — •
Les deux déterminations de e correspondent à une seule droite. En efl'et, à la détermination c = + i, correspond une demi-droite déterminée OZ; p a une valeur algébrique déterminée : donc le point H est déterminé sur Z'Z. Si l'on prend £ = — i , OZ est remplacée par la demi-droite opposée OZ' et p change de signe, donc le point H reste le même. On peut remarquer, si l'on veut, que les deux systèmes de coordonnées polaires p, ol et — /?, a-j-ir déterminent un seul point H.
80. Construction de la droite représentée par Véquation Aa; + B^H-G = o. — Remarquons d'abord que si l'unité de longueur n'est pas déterminée, x eX y devant représenter des longueurs, il est nécessaire que A et B soient du même degré d'homogénéité et que le degré de C surpasse celui de A d'une unité, de
ce , •
sorte que x ^^ r représentent des longueurs; cela étant, nous considérerons plusieurs cas.
i" Supposons d'abord que l'un des coefficients A ou B soit nul,
C étant différent de zéro.
G L'équation Bj^ -f-C;=oouy=: — — représente la parallèle à l'axe
des X menée par le point ( o, — ^ j.
Pareillement, l'équation A^H-C = o ou a: = — -r représente la
parallèle à l'axe des y menée par le point ( — ^ ' ^ ) •
Les réciproques sont vraies; ainsi une parallèle à l'axe des ^ a une équation de la forme ;r = a ou Kx -|- G = o.
2'' C^o; l'équation est de la forme Aa;-t-By = o; la droite qu'elle représente passe par l'origine, parce que l'équation précé-
dente admet la solution ^ = o, j)^ = o. Pour achever de la déterminer^ supposons que les coefficients A et B représentent, au signe près, des longueurs; la droite cherchée passe par le point (B, — A); elle est donc déterminée. D'ailleurs on peut remarquer que l'équation proposée exprime la condition nécessaire et suffisante pour que le point M{x,y) soit sur la droite joignant l'origine au point (B, — A).
A L'équation précédente peut s'écrire y= — r^î ^^^j ^^ posant
y = mx.
Le coefficient m est un nombre positif ou négatif. Si l'on prend
{^fig- 39) sur l'axe des x un segment OA pour unité, et si l'on porte sur la parallèle à l'axe des y menée par A un segment AB dont la mesure algébrique soit exprimée par le nombre m, la droite indéfinie OB est la droite cherchée.
3° Considérons enfin le cas où les trois coefficients A, B, C sont différents de zéro. L'équation donnée résolue par rapport à y devient
(i) y = mx -H A,
en posant — — = m, — - = /i ; m est un nombre et h une longueur au signe près.
Construisons d'abord ^fig. 39) la droite OB ayant pour équation y ■=. mx ; déterminons ensuite sur l'axe des y le segment OC = h et menons enfin la droite CD parallèle à OB. Soit M un point quelconque de BC, et soient Q et R les points où la parallèle à l'axe desj^ menée par M rencontre l'axe des x et la droite OB; on a
QM = QR-4-RM;
donc, en appelant x l'abscisse du point Q et j- l'ordonnée de M, on a, en grandeur et en signe, QM = j, QR ■= mx, RM = OC = ^ et par suite x el y vérifient l'équation (i).
Réciproquement, si les coordonnées x^ y d'un point M vérifient cette équation, on a
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et par suite M est sur la droite CD. L'équation (i) est donc celle de la droite CD.
On voit aussi que le coefficient m détermine la direction de la droite représentée par l'équation (i) et h détermine le point où cette droite rencontre l'axe desj^- Pour ces raisons m se nomme le coefficient angulaire et Ji Vordonnée à V origine de cette droite. Pareillement — — se nomme V abscisse à l'origine. A °
86. Variation du coefficient angulaire. — Il résulte de ce qui précède que le coefficient angulaire d'une droite est le même que celui de la parallèle à celte droite menée par l'origine des coordonnées. Il suffit donc de considérer une droite passant par l'origine et soit {^fig. 4o) M le point de cette droite ayant pour abscisse l'unité de longueur; le point M est sur la droite B'B, pa- . , rallèle à l'axe des y et ayant pour équation ^ = i . Le coefficient angulaire de OM est égal à l'ordonnée de M, c'est-à-dire au segment AM. Donc, si la droite OM tourne dans le sens direct autour de l'origine de façon que, coïncidant dans la position initiale avec l'axe j)/''^, elle tourne de i8o°, le point M décrira dans le sens de B' vers B la droite B'B tout entière et par suite le coefficient angulaire m de OM varie d'une manière continue en croissant de — co à -|-oo.
Il importe de remarquer qu'à toute valeur de m correspond une seule direction pour la droite OM^ mais, quand cette droite se confond avec l'axe de-s y.^ son coefficient angulaire est aussi bien + oo que — 00.
