Condition pour que les équations
A a; -f- B j' -4- G = o et k' x -hB'y -\- C = o
représentent deux droites parallèles.
Il résulte de ce qui précède que les parallèles aux droites données menées par l'origine ont respectivement pour équations
Ax -^By = 0 et A'a? -t- B'jk = o.
Pour que les droites données soient parallèles, il faut et il suffit
Fig. 4i.
que les équations précédentes représentent une même droite, ce qui donne la condition
AB'— BA'=o.
On arrive à la même condition en écrivant que les coefficients angulaires des deux droites données sont égaux.
88. Equation de la droite passant par un point donné et parallèle à une direction donnée. — Soient (^fig. 40 ^o> jKo les coordonnées d'un point A; a, 6 celles d'un point D; nous voulons former l'équation de la droite A menée par le point A^ parallèlement à la droite OD. Soit M(^, y') un point quelconque de A; menons par A une parallèle à l'axe des x et par M une parallèle à l'axe des y\ soit P le point de rencontre de ces deux droites, enfin soit E le point où la parallèle DE à l'axe des y rencontre l'axe des x. Si les segment parallèles AM et OD ont le même sens ou des sens contraires, il en sera de même de leurs projections AP et OE; donc, en grandeur et signe,
ÂP ÂM
OE
OD
Par suite, en posant
AM ÔD
p, p ayant le signe + ou le signe
suivant que les deux segments AM et OD ont le même sens ou des sens contraires; on a, en remjjlaçant AM et OD par leurs expres-
sions X — ^ft et a
X — .ro
On trouve par le même raisonnement
r— .ro
Donc
d'où
(2) a7 = aro-i-ap, y =y^-\-h'~j.
LIGNE DROITE. 6l
Les équations (2) permettent d'exprimer les coordonnées d'un point quelconque M de la droite A à l'aide d'un seul paramètre p. Lorsque p varie de — 00 à + 00, le point (^0 + «Pj JKo + ^p) décrit cette droite tout entière dans le sens défini par le segment OD.
Les formules (2) conviennent évidemment au cas où l'une des deux coordonnées a onb est nulle ; si «r = o, par exemple, les coordonnées d'un point de A sont données par les formules x = Xo^ y = jKo -f- ^p. On peut convenir de conserver encore dans ce cas les équations (i) pourvu qu'il soit entendu que l'on tire de ces équations x = x^^ quand « == o. Remarque analogue quand b = 0.
89. L'équation d'une droite peut toujours se ramener à la forme (i). En effet, soit
(3) Aa7H-B7-+-C = o
l'équation d'une droite; si ^0? JKo sont les coordonnées d'un point de cette droite, on a
Âaro-r- Bj'oH- C =0,
ce qui donne C = — A^o — ^Xo, donc l'équation proposée peut
s'écrire
fi(x — XQ)-^ B(7— jo) = o
/,x x — xo r—yo
K^lJ
En particulier.
l'équation
= mx -+■ k
peut s'écrire
90. Trouver tes paramètres directeurs de la droite représentée par r équation A:r -t- By -h G = o.
Tout point de la parallèle à la droite proposée, menée par l'origine, peut être considéré comme un point directeur de cette droite; on est ainsi ramené à trouver une solution quelconque de l'équation Ax -{-By =zo. La solution la plus générale de celte équation est donnée par les formules
X — XB, y = — XA,
ce qui démontre que les paramètres directeurs de la droite considérée sont proportionnels à B et — A, comme on le voit d'ailleurs en mettant l'éqviation de cette droite sous la forme (4)- Mais il est indispensable de remarquer que, si l'on veut que )vB et — XA représentent des coordonnées, il faut que X ait des valeurs convenables. Ainsi les paramètres directeurs de la droite ayant pour équation p^x — y.^y=:o, dans laquelle a et ^ désignent des longueurs, sontla^ et).[^'; pour que
ces expressions représentent des longueurs, il faut poser X= rh — >
p. désignant une longueur; par exemple, on peut dire que a et ^ sont les coordonnées d'un point directeur de la droite considérée. Dans le cas général, on ne peut prendre X= i que si A et B représentent des longueurs, au signe près; dans ce cas C sera xme aire. Si ces conditions sont remplies, on peut dire que le point (B, — A) est un point directeur de la droite représentée par l'équation (3). Si l'on prend une ligne de la figure pour unité, on peut dire que (i, m) sont les coordonnées d'un point directeur de la droite représentée par l'équation (0).
Proposons-nous de trouver les paramètres principaux de la droite donnée. Pour que la distance du point ÇkB, — XA) à l'origine soit
égale à l'unité, il faut que \ = zt: ^^ ce qui donne pour les paramè-
très cherchés a = e -^ry b = — e^' en supposant e = dz i et R désignant le radical arithmétique 4- y/A^ -|- B- — aABcosO. On voit que a el b sont alors des nombres et il ne faut pas oublier que l'on a pris pour unité une longueur déterminée.
D'une manière générale, les paramèti^es directeurs a, b d'une droite définie par son équation ne sont déterminés qu'à un facteur près; mais le rapport - est déterminé et égal au coefficient angulaire de cette droite.
91. Si les coefficients A, B, C tendent vers des limites déterminées A', B', C, la droite A, représentée par l'équation Kx -h By + G = o, tend vers la droite A', ayant pour équation A! X -{-B'y -\- CJ =i o. — En eflfet, supposons B'^o; l'ordonnée y de A est déterminée par l'équation
donc, si l'on donne à x une valeur déterminée ;ro, on voit que
lim7 = — gra-o— ^.',
on en conclut que tout point de la droite A a pour limite le point de A' qui a même abscisse.
Plus généralement, si les coefficients du poljnome f{oc,y) tendent vers des limites déterminées, la courbe G ayant pour équation f{x^y) ^ o a pour limite la courbe C| , dont l'équation y, [x, y)^ o s'obtient en remplaçant dans la première équation chaque coefficient par sa limite. En effet, les ordonnées des points de la courbe G ayant pour abscisse x^ sont les racines de l'équation y*(^oj ^) = o, et l'on sait que ces racines ont respectivement pour limites les racines de l'équation y*, (a^o, ^) = o, quelle que soit d'ailleurs la valeur attribuée à jTo, ce qui démontre la proposition.
92. Conditions nécessaires et suffisantes pour déterminer une droite. — L'équation la plus générale du premier degré à deux variables X, j renferme trois coefficients. Pour que la droite représentée par cette équation soit déterminée, il faut et il suffît que les rapports de deux quelconques des coefficients au troisième, supposé différent de zéro, soient connus. Par exemple, si G^o, il suffit de
connaître r=; > ^« En posant -^t = ?^, ^ = (^, 1 équation ux-\-vy-\-i^o
représente toutes les droites ne passant pas par l'origine, quand on donne k u el v toutes les valeurs possibles. On peut même lever la restriction précédente. En effet, si l'on écrit
on peut identifier cette équation avec l'équation
(2) y — mx = o,
en posant = m, - =: o, ce qui signifie que si l'on fait croître
indéfiniment u et r, de façon que le rapport ait pour limite m,
la droite représentée par l'équation (1) a pour limite celle qui est représentée par l'équation (2). De même, en faisant croître u et p
indéfiniment, de façon que - tende vers zéro, la droite considérée
aura pour limite l'axe des y. Donc en altribuant k u el v des valeurs Unies ou infinies, l'équation ux -\- çy -{- i^= o peut être considérée comme l'équation la plus générale de la ligne droite. Pour que la droite soit déterminée, il est nécessaire et suffisant que ii et v soient déterminés; ces deux constantes se nomment des paramètres. On voit que l'équation de la ligne droite renferme deux paramètres. Il faut donner deux équations distinctes entre m et ç'; en d'autres termes, il faut deux conditions distinctes pour déterminer une droite. Mais il importe de remarquer que, si les conditions se traduisent par des équations de degré supérieur au premier, il peut y avoir plusieurs droites satisfaisant aux conditions données. On dit que la droite cherchée est déterminée quand le problème a un nombre déterminé et limité de solutions.
L'équation — — — = ^— — ^ renferme, en apparence, trois para-
mètres : Xq^ JK05 -• Mais, si on la met sous la forme
b bxçi
on voit qu'elle ne renferme que deux paramètres seulement : — et
bxQ
Problèmes relatifs à la ligne droite.
93. Equation générale des droites passant par un point donné K(^x^, y^). — Exprimons que la droite ayant pour équation Kx H- ]ày + C = o passe par le point {Xf,., jKo)? ce qui donne la condition
Aa^o-f B yo-)- G — o; on en tire
G — — kxo— Bjo,
et, par suite, l'équation de toute droite passant par K[xq, y^) peut se mettre sous la forme
A(a7 — ^0) -4- B(7 — jo) = o.
Réciproquement, quels que soient A et B, cette équation représente une droite passant par le point donné, puisqu'elle est vérifiée quand on pose x = a^o, y =jKo-
11 en résulte que, si l'on donne à A et B toutes les valeurs possibles,
l'équation précédente représente le faisceau de toutes les droites passant par le point donné et n'en représente pas d'autres. Pour ces raisons, on dit que c'est V équation générale des droites passant par
le point (^o>JKo)- Elle renferme encore un paramètre -^- On peut évidemment lui donner la forme
x — xo y—Yo a et b étant arbitraires.
94. Equation générale des parallèles à une droite donnée. — i°SoitjK^^ nix l'équation d'une droite passant par l'origine : l'équation d'une parallèle à cette droite est de la forme
y — mer -h 1,
et réciproquement, toute équation de cette forme représente une parallèle à la droite donnée ; on a donc obtenu Véquation générale demandée.
2° Soit Kx + B^ + C = o l'équation d'une droite donnée ; l'équation générale des parallèles à cette droite est
Aa: -f- \^y -t- X = o,
\ désignant un paramètre arbitraire. En effet, pour que les droites représentées par les équations
A.r-f-B^-HC = 0, A'a7-f-B'jK4-G'= o
soient parallèles, il faut et il suffit que AB' — BA.'= o, c'est-à-dire
que
k'=kk, B'=A-B,
k désignant un facteur arbitraire, différent de zéro; l'équation cherchée est donc
kx -+■ By -+- — r= o,
-r étant arbitraire et pouvant être désigné par une seule lettre A.
Si, pour abréger, on désigne par P le polynôme h.x + Bj' -f- C, l'équation Ph-).= o est l'équation générale des droites parallèles à la droite P =z o.
NiEWENGLOWSKI. — G. an., I. 5
On peut encore l'écrire sous la forme
aP -+- 6 — o,
en remplaçant À par -•
Il résulte de là que, si P =^ o, Q =^ o représentent deux droites parallèles, l'équation
aP-+- PQ4-Y:= 0
représente une droite parallèle aux premières, quels que soient a,^,^. En elFet, on a
<]onc
«P-4-PQ-4-Y = (a + ap)P-i-6p--7.
■95. Équation de la droite passant par un point (^o> JKo) ^^ P^^rallèle à une direction donnée. — Si la direction donnée est définie par les paramètres a, ^, la question est déjà résolue, et l'équalion demandée est
ou encore
m étant le coefficient angulaire.
Si la droite donnée a pour équation
kx -\- BjK -f- G = o,
Ja parallèle menée par (a^o. JKo) a pour équation
A(a7 — a:o)-4- B(jk— jo) = o.
'96. Equation de la droite passant par deux points donnés M, {x^, JK) ), ^.^{x-ii yi)- — Exprimons que l'équation
(i) Aip-^BjK-i-G = o
est vérifiée quand on remplace les coordonnées variables x, y successivement par Xi , yi et .2:2» ^25 ce qui donne
■■(2) Aa-i-h BjKi-t- G = o,
.(3) Air2-+- BjK2-^-G = o.
'Ces deux équations sont homogènes et du premier degré par rapport
à A, B, G. Si les deux points donaés sont distincts, l'un au moins des déterminants déduits du tableau rectangulaire
^1 J'i I || a-î yi I II
est différent de zéro, et par suite les rapports des coefficients A, B, C sont déterminés. En remplaçant dans (i) : A, B, G par les quantités j, — y.^, — (^, — X2) et Xty.i — Xt^i qui leur sont proportionnelles, on obtient l'équation demandée
•'^{yt—y-i)—y(^i — ^2)-^^iyi — ^la:, = o.
La question revient à éliminer A, B, G entre les équations (1), (2), (3) et, par suite, l'équation demandée peut s'écrire sous forme de déterminant :
X y I xi yi I
Xi yi II
D'ailleurs l'équation (5) est du premier degré, et son premier membre devient nul quand on fait x =: x^^ y ^=y^^ et quand on fait Jo = Xi,y—y.i.
Il résulte de ce qui précède que le coefficient angulaire de la droite M| Ma est égal à
y\~yi
X^ — Xi
G'est ce que l'on obtient encore en exprimant que la droite représentée par l'équation
y—yi = m{x — xi) passe par M2.
L'équation MjMa peut encore s'écrire
y—yi x — Xj^ yt — yi a^2 — a-,*
On voit ainsi que les paramètres directeurs de la droite MjMj sont proportionnels aux différences X2 — ^1 , y> — y^ •
97. Cas particulier. — Les points donnés sont sur les axes; dans ce cas, en posant ^r, = a, yi = o, X2= o, y2= ^, on obtient
réqualion
Les points donnés s'appellent alors les traces de la droite sur les axes.
On peut obtenir directement celte équation; en effet, dans ce cas, le système (2), (3) devient
Aa + C = o, Bj3-i-G=o, d'où
et par suite l'équalion demandée est
et, en remarquant que G est arbitraire et supprimant ce facteur commun, on obtient le résultat annoncé.
Lorsque A et B tendent vers zéro, G conservant une valeur finie, a et p croissent indéfiniment et la droite est rejetée à l'infini.
98. Exprimer que les trois points Mi[Xi,yi), M2(.r2, jKa), ^3(^3, yg) sont en ligne droite. — Il n'j a qu'à écrire que Mg est sur la droite Mj M2, ce qui donne la condition
X^ JK2 I — O.
Xz Jz I I
99. Trouver les coordonnées du point commun à deux droites. — Soient
(i) kx -f- BjK -H C = o,
(.2) A'a^-t- B'jK-f- G'= o
les équations des deux droites. Les coordonnées de tout point commun à ces deux droites vérifient ces deux équations; et réciproquement, à toute solution ^o^JKo du système (i), (2) correspond un point (^oj jKo) commun aux deux droites. Le problème est ainsi rajnené à un problème d'Algèbre. Il y a plusieurs cas à distinguer.
1° AB' — BA'^ o; le système proposé a une solution unique : les deux droites sont concourantes, et les coordonnées de leur point d'intersection sont
