AC— GA', AG"— GA
soit différent de zéro, les droites données sont parallèles; elles n'ont aucun point commun à distance finie. Il peut arriver alors que l'une de ces droites soit entièrement à l'infini.
Lorsque A ^o, AC — CA'=o, AC" — CA'^^o, les trois mineurs étant toujours supposés nuls, les trois droites sont confondues.
Enfin, lorsque A= A'= A"=B=:B'=B"=o, les trois droites sont à l'infini. Mais, si G = o, la première droite est indéterminée; pareillement pour la deuxième et la troisième, si C'= o ou G"= o.
En résumé, la condition A = o exprime que les droites données sont concourantes, parallèles, ou encore que deux au moins sont confondues.
Il en résulte que, si l'on suppose A ^ o, ces droites sont distinctes et ne sont ni concourantes ni parallèles, et par suite elles pourront former un triangle, ou bien deux seront parallèles, la troisième les coupant; ou enfin l'une d'elles pourra être à l'infini, les deux autres étant à distance finie et concourantes.
101. Corollaire. — Si Von représente par L, M, P les premiers membres des équations (i), de sorte que les droites don-
LIGNK DROITE. 71
nées soient définies par les équations L = o, M = o, P = o, pour
que ces droites soient concourantes ou parallèles, il faut et il
suffit qu^il existe trois nombres a, b, c non tous nuls, vérifiant
l' identité
aL-f-6M-+-cP = o.
En effet, le système d'équations
A a -i- A' 6 + A' c =^ o, Ba 4- B'6-f-B'c = o, Ca-^C'b-hC"c = o
admet des solutions non toutes nulles si le déterminant A est nul.
Béciproquement , supposons l'identité précédente vérifiée et soit, par exemple, c ^ o ; on en tire
L'équation P = o est donc équivalente à l'équation
ah-h bM — o.
Supposons d'abord que les droites définies parles équations L = o, M = o soient concourantes. Les coordonnées du point de concours de ces deux droites vérifient l'équation précédente, ce qui prouve que la droite P passe par le point de concours des deux autres. Si les droites L et M sont parallèles, «L + 6M = o représente une droite parallèle aux mêmes droites (n° 92); donc alors les trois droites données sont parallèles.
Si c est nul, on a L ^ M; alors les droites L et M sont con-
fondues.
102. Equation générale des droites passant par le point de concours de deux droites données. — ■ Soient L == o, M = o les^ équations de deux droites que nous supposerons concourantes. Si l'équation P = o représente une droite passant par le point de concours des deux premières, il existe, comme on vient de le voir, trois nombres «, 6, c non tous nuls et tels que
ah -H 6M -H cP = o.
Le coefficient c est nécessairement différent de zéro, sans quoi les
droites L et M seraient confondues ; on a donc
et, par suite, toute droite P jaassant par le point de concours des deux premières a pour équation
ciL -4- 6 M = o,
a et b étant deux constantes.
Réciproquement, toute équation de cette forme représente une droite passant par le poiut de concours des deux droites L et M; car si x' et y' sont les coordonnées du point de concours de ces deux droites, en désignant par L' ce que devient le polynôme L quand on j remplace x par x' ely par jk', et par M' ce que devient M quand on fait la même substitution, on a h'= o et M'=: o, et par suite aussi
aL'-t- bM'= o.
Donc l'équation
est bien l'équation générale demandée.
On peut arriver directement au résultat précédent.
A cet effet, on remarque d'abord, comme nous venons de le faire, que l'équation
(i) aL-~bM = o
représente, quelles que soient les deux constantes «, b (auxquelles nous attribuerons toujours des valeurs finies), une droite passant par le point de concours A. des droites L et M. Il reste à montrer qu'on peut attribuer aux coefficients a eV b des valeurs telles que l'équation précédente soit celle d'une droite donnée D passant par le point A. Pour cela, prenons sur la droite D un point quelconque M(^(, jKj) différent de A; en désignant par L, et M, les résultats de la substitution àe X\ k X et de yi ky dans les polynômes L et M, l'équation
LMi — MLi = o
représente évidemment la droite AM; donc il suffit de prendre
a = Mi, b =^ — hi pour que l'équation (i) représente la droite D.
En particulier, en faisant a = o, on obtient la droite M, et, en supposant 6 = o, on a la droite L.
LIGNE DROITE. y'S
()ii poiil faire usage de l'équation
mais, pour que cette équation puisse représenter la droite M, il faudra supposer X infîni; en effet, en écrivant l'équation précédenUsous la forme
le premier membre se réduit bien à M quand on suppose \ infini.
103. Remarque. — Il convient de remarquer que, si X croit de — x. à -f- x, la droite représentée par l'équation (i) tourne autour de son point fixe toujours dans un même sens. Gela résulte évidemment de ce que les équations
Lh-XM = o, L-t-X'M — o
représentent deux droites distinctes, quand on suppose les droites L et .M distinctes elles-mêmes.
104. Application. — Equation de la droite passant par un point donné et par le point de concours de deux droites. — Soient \x 4- Bj' -I- G = o , k! X -h B'^ -|- G' = o les équations des deux droites données; d'après ce que nous venons de dire, l'équation
(\x^ BjK-^ C) ( A'a-i + B>i + G') — ( Â'a7 + B>^-G') ( Aari -i-Bji + G) = o,
représente la droite passant par le point de concours des dcu\ droites données et par le point .T), j>^, ; dans le cas particulier où Ifpoint donné est l'origine, on obtient l'équation
(AG'- Ck')x -t- (BG'— GB')7 = o.
103. Théorèmk. — Si les coefficients de l'équation d'une droite renferment un paramètre variable au premier degré, cette droite tourne autour d' un point fixe.
Eu eff'et, l'équation considérée est de la forme
(i) («-+- Xa')a- -f- (6 -f- X6')j' -T- c -t- Xc'= o
ou
ax -r- by -j- c -t- X(a'j; -i- b' y -\- c) — o\
dit' représente donc une infinité de droites passant par le point de
concours des deux droites représentées par les équations
(2) ax -\- by -h c =:= o, a' x -[- b' y -\- c' =^ o .
Cette conclusion n'a de sens que si ces deux équations représentent deux droites distinctes. Si l'on suppose, au contraire,
a = ha' , h — hb', c = hc ,
l'équation proposée est de la forme
elle représente donc une droite fixe ayant pour équation
à moins que l'on ne donne à \ la valeur — li] dans ce cas, elle est indéterminée.
Si les droites représentées par les équations (2) sont parallèles, l'équation (i) représente toutes les droites parallèles aux premières <|uand on fait varier X de — 00 à +00.
106. Théorème. — Etant donnés trois polynômes entiers en x et y, du premier degré, et indépendants
A = ax -f- by + c, B ss a' x -\- b'y -t- c', C ss a" x -+- b" y -i- c",
V équation d'une droite quelconque du plan peut se mettre sous
la forme
/ A -;- m B ~- jo C = 0,
/, m, p étant des constantes.
En effet, soit
ux-\-vy^w^o
l'équation d'une dioite quelconque. On peut résoudre le système
al -\- a' m -^ a!' p = a, bl -\- b' m -4- b" p = V, cl -4- c' m -r- c"p = W',
car le déterminant des coefficients des inconnues /, m, p est supposé différent de zéro.
