On peut établir directement cette proposition

Si les trois droites données ont un point commun a^i, y\, en désignant par

Al, Bi, Cl ce que deviennent A, B, G quand on y fait x = x^, y—yx, on

aura

/Al -h mBi -l-/>Ci = o,

/' Al -f- m' Bi -H /)' Cl = o,

r Al -1- /n" Bi -h p' Cl — o.

Or Al, Bi, Cl ne peuvent être nuls tous trois, puisque les droites A, B, G n'ont aucun point commun; donc le déterminant o des coefficients de Ai, Bi, Cl est nul.

La conclusion subsiste si les trois droites sont parallèles ; car, si l'on nomme a-Q, yo les paramètres, directeurs de la direction commune aux trois droites, en posant

A'= aiTo-t- byç)

a'x^^ b'yo, C'= a"xo-h b'yo,

/A' -+- inB' -f-joC =0, /'A'-f- w'B' -+-/)' G' = 0, r\'-+-m''B'-t-p''C'=^o,

et l'on ne peut supposer A'=o, B'= o, G'=o; car les droites A, B, G ne sont pas parallèles.

Réciproquement, si le déterminant 0 est nul, on peut trouver des nombres a, p, Y non tous nuls et vérifiant les équations

a/ -f-pr -+-^1" =0, a //i -+- p m' -H Y m" = o, ocp ■+- ^p' -h Y/>" = o,

et par suite, si U, V, W sont les premiers membres des équations données, on aura

aU + !3V + YW = o;

donc ces droites sont concourantes ou parallèles.