Résolution de V inégalité

A a; -+- BjK -^- G > G (ou < o).

Nous établirons d'abord la proposition suivante : La droite représentée par V équation K.x + By + C = o partage le plan en deux régions : quand on substitue à x et y dans le polynôme A^ + B y + C les coordonnées d'un point appartenant à l'une de ces régions, le résultat de la substitution a le signe +; pour tous les points de Vautre région le résultat a le signe — .

En effet, supposons, povir fixer les idées, B^o; la droite A {Jig- 4'-^) représentée par l'équation donnée, n'est pas parallèle à l'axe des y. Soit M un point quelconque, ayant pour coordonnées x' ^ y ] la parallèle à l'axe des y menée par M rencontre A en un point Q et l'axe des x en un point P;

QM =/-/',

y" étant l'ordonnée de Q; or, A:r'4- Bj)/' + C = o, d'où il résulte que

kx'^ By-+- G = B(7'— 7") = B X QM.

Cela posé, nous dirons que le point M est situé par rapport à la droite A dans la région des ordonnées positives quand le segment QM aura le signe +, c'est-à-dire quand le segment QM sera dirigé dans le même sens que la demi-droite Oj" ; au contraire, si QM

LIGNE DROITE. "jj

a le signe — , c'est-à-dire est dirigé dans le même sens que la demidroite Oy' , nous dirons que le point M est par rapport à A dans la région des ordonnées négatives. D'après la formule précédente, pour tout point {x' , j') situé dans la région des ordonnées positives, Kx' + ^y -\- G a le signe de + B; et pour tout point de la région des y négatifs, il a le signe de — B. Il résulte encore de ce qui précède que Aa;'+Bj^'+G et A.2:"H-By+C ont le même signe ou des signes contraires, suivant que les points {x', y') et (x", y") sont situés d'un même côté de la droite A ou de côtés différents. Pour abréger le langage, nous dirons que le poljnome Ax -+- By -\- C prend au point {x',y') le signe + ou le signe — , suivant que A^r'H- B/'4- C a le signe + ou le signe — .

Nous appellerons région positive, par rapport à la droite A, en supposant qu'elle soit représentée par l'équation Ax -i- Bj^ 4- G = o, la région pour laquelle le poljnome Kx + Bjv" + C prend des valeurs positives, et région négative celle pour laquelle le même poljnome j^rend des valeurs négatives. D'après ce qui précède, si B est positif, la région positive est celle des y positifs; c'est au contraire celle des y négatifs quand B est négatif. Si B = o, on fera un raisonnement analogue, par rapport à l'axe des x.

Lorsque G est différent de zéro, on peut faire autrement la distinction des deux régions; en effet, à l'origine le poljnome A^ -r B^ H- G se réduit à G; donc la région positive sera celle qui contient l'origine si G est positif, ou celle qui ne contient pas l'origine si G est négatif.

11 convient de remarquer que l'équation de la droite A peut être écrite d'une infinité de manières en multipliant A, B, G par un facteur arbitraire; on peut donc toujours s'arranger, si cela est utile, de manière que la région positive soit celle des y positifs ou celle des X positifs, ou encore celle qui contient l'origine si la droite ne passe pas par l'origine.

Gela posé, pour résoudre l'inégalité Kx + Bj' + G > u, on déterminera d'abord la région positive; x el y devront être les coordonnées d'un point quelconque de cette région.

110. Exemple. — Résoudre l'inégalité 2X — 3y -\- i^ o. La droite représentée {Jlg. 4^) par l'équation

ix — iy -{- 1 — o

yS CHAPITRE II.

rencontre l'axe des x au point A tel que OA = — j et au point B tel que OB ^ + |. Pour que l'inégalité donnée soit vérifiée, il faut et il suffit que x Ql y soient les coordonnées d'un quelconque des points situés par rapport à AB du même côté que l'origine.

111. Applications. — En nommant a, |3 les angles que la perpendiculaire abaissée de l'origine sur la droite A ayant pour équation kx + V>y + C = o fait avec les axes et en posant 0 — a= (3,R = -j-y/A-H-B^ — ^2ABcosO, nous avons trouvé

A sinO ,, B sinô

cos a = £ — =r — , cos p = £ — — — •

Prenons sur la demi-droite définie par ces formules, à partir de l'origine, un segment dont la valeur absolue soit égale à l. Les coordonnées j:', y' de l'extrémité de ce segment sont déterminées par les équations

x' ■+■ y cos6 = l cosa, rp'cosO -i-jK = l cos^, d'où

,,cosa — cos p cos 0 , .cos^ — cos a cos 0

^-^' sin^e ' ^='' iïïï^-ë '

et par suite

Aa7' ^- B y'-4- G = £ -^ l -+- G.

•^ sinO

Si l'on suppose la longueur / suffisamment grande, le second membre a le signe de e; donc, si £ = + r, on choisit sur la perpendiculaire à A la demi-droite dirigée vers la région positive du plan par rapport à A; à s =: — i, correspond la demi-droite dirigée vers la région négative. Nous nommerons normale positive à A, la demidroite perpendiculaire à A qui est dirigée vers la région positive relative à A, et normale négative celle qui est dirigée en sens contraire.

Problèmes relatifs aux angles.

112. Problème. — Etant données les équations de deux droites A, A', trouver l'angle que la droite ÙJ fait avec la droite A.

Soient

Aa? -f-Bj -H-C

les équations des droites données. Prenons {^fig. 44) sur la parallèle à A menée par l'origine un point quelconque D et sur la parallèle à A' menée aussi par l'origine un point quelconque D'.

L'angle que A' fait avec A est défini à un multiple près de Tt; soit U l'une quelconque de ses déterminations. L'angle que OD' fait avec OD est défini à un multiple près de ir.\ soit V l'une quelconque de ses déterminations; V diffère de U d'un multiple de-, de sorte que tangV= tangU. Si nous appelons a, h les coordonnées de D et «', V celles de D', nous savons calculer tangV (54 )> et par suite tangU. Or

rt = XB, />=— XA; a' = X'B', ^' = — X'A'; en substituant ces valeurs dans la formule

tanjrV

{ab' — ha' ) sin 0 «a'-f- bb' -\- («6' -H ba') cos6

nous voyons que les facteurs arbitraires A, )/ disparaissent, et il

vient

(AB'— BA')sinO

tan<TfA AM= ^ •

lan»».-^, û; AA'-^BB'— (AB'-HBA')cose

Il est facile d'expliquer pourquoi X ni X' ne figurent dans la formule définitive; car, si l'on change la valeur absolue de X, sans changer son signe, le point D se déplace, mais le sens de OD ne change pas, de sorte que l'angle V n'est pas altéré; si le signe de X change, le sens de OD est remplacé par le sens opposé ODi et, par suite, l'angle V varie d'un multiple de t:, ce qui n'altère pas sa tangente.

113. Calcul de cos(A, A') ci de sin(A, A'). -^On a, d'après ce qui précède,

cos(A, A') =±cosV, sin(A,A') =± sinV,

sans qu'on puisse savoir quel signe on doit prendre, attendu que l'équation de chaque droite A ou A' ne donne ni le sens de OD ni celui de OD', qui peuvent être remplacés chacun par un segment de sens opposé. Or les formules donnant cosV et sinV contiennent en

8o CHAPITRE II.

dénominateur les i-adicaux

v/a'^-4- 6'''-i- aaè cosO et /a''^-i- ô'^-^- aa'è'cosO,

que l'on doit prendre en valeur absolue; en remplaçant a, Z>, «', b' par leurs expressions données plus haut, on obtient

y/a-2| ^,2 i .j ab cosÔ = zl /A2-i- B2— . aAB cosO (£:=rhi),

v/a'2 -i- 6'2 -I- 2 a' b' cos 6 = e' )/ /A'^ -l- B'^ — 2 A' B' cos 0 (£' = ±1), de sorte que

,, ,„ AA'^BB'— (AB'+BA')cose . ,, ,,, ( AB'— BA') sinO cos(A, A)= ^^r^^^ ' sni(A, A)= ^^Jl^^' '

où l'on a posé

B ^ + v/A2+B2— 2ABCOS0, R' = + /A'2-+- B'^— 2 A'B'cosO.

Si l'on convient, par exemple, de choisir le point D et le point D' de façon que leurs abscisses soient positives, on devra donner à X un signe tel que ÀB soit positif et de même X'B' devra être positif; ensuite, sX et s'X' devant être positifs, les signes de e et de z' seront aussi déterminés. •

Lorsque les axes sont rectangulaires les formules précédentes se simplifient et deviennent

/. .,. AB'-BA' ., ,,, , AA'-t-BB'

tang(A, A ) = — — — — , cos(A, A ) =

AA'+ BB' ' /a2+bVa'2+B'^