COURS
Remarques sur l'homogénéité des formules de la Géométrie.
1. Les propriétés métriques des figures se traduisent par des relations entre des longueurs. Deux cas peuvent se présenter : i" l'unité de longueur est indéterminée, 2" l'une des lignes de la figure étudiée a été prise pour unité.
î2. Théouème. — Toute relation homogène entre les mesures des longueurs des lignes d^ une figure est indépendante de C unité de longueur.
Soit
une équation dont le premier membre est une fonction homogène et de degré m des lettres a^ b, - . . , /. Nous supposons que ces lettres désignent respectivement les mesures des longueurs A, B, . . . , L au mojen d'une unité U. Prenons une nouvelle unité U' et supposons U = U'x t) les nouvelles mesures des longueurs considérées
seront
a'=axt, b'=bxt, ..., l'=lxt.
La fonction /(a, b, . - ■ , l) étant homogène et de degré m, on a, en vertu même de la définition d'une fonction homogène,
/(a, b', ..., r)=/^ta, tb, ..., tl)=t'n/{a, b. ..., l), N. I
donc
ce qui prouve que les nouvelles mesures vérifient la même relation que les anciennes.
3. Réciproquement. — Toute relation indépendante de V unité de longueur est homogène.
Supposons d'abord la relation donnée algébrique et mise sous la
forme
le premier membre étant un polynôme rationnel et entier de degré m. Si ce polynôme n'était pas homogène, il pourrait être décomposé en une somme de polynômes homogènes et, par suite, l'équation donnée serait de la forme (t) <s^m{a, i>, ••', l)-^^m-i{a,, b, ..., l)-\-: . .^^{a, b, ..., /)+çço = o,
çp^, '■D„^^ , . . . , cp, désignant des polynômes homogènes dont les degrés sont égaux aux indices correspondants et cpo étant une constante. Par hypothèse l'équation (i) est indépendante de l'unité, ce qui revient à dire qu'elle ne change pas quand on multiplie toutes les mesures par un nombre arbitraire t', ce qui donne
Cette équation algébrique en t devant être vérifiée pour toutes les valeurs de t, on en conclut que
^ ' ^ \ cpi(a, 6, ..., 0 = o>
Ço = o.
La relation proposée esl par hypothèse de degré m; donc les relations (3) sont des identités et, par suite, le polynôme /"(a, b, ...,/) se réduisant à (^«/«(a, b, . . . , l) est homogène.
4. Remarque. — Il est incontestable que si l'on donne plusieurs relations homogènes entières et de degrés différents
on a le droit d'en déduire
Mais une pareille équation ne saurait être d'aucune utilité, car lorsqu'on ajoute des équations membre à membre c'est pour obtenir des réductions de termes semblables; or des polynômes homogènes de degrés différents n'ont pas de termes respectivement semblables.
5. D'une manière générale, on peut démontrer que toute équation indépendante de l'unité est équivalente à une équation homogène. En effet, soit
une équation entre les mesures des lignes A, B, ..., K, L; si cette relation est indépendante de l'unité U, elle subsistera si l'on prend pour unité l'une quelconque des lignes de la figure, L par exemple. Les autres lignes auront alors pour mesures
puisque L = U x /. L'équation donnée peut donc se mettre sous la forme /(a', b\ ..., A-', i) = o.
c'est-à-dire
Le premier membre est homogène et de degré o; en le multipliant par une puissance quelconque de /, on le mettra sous la forme d'une fonction homogène de degré arbitraire.
6. Rétablir l'homogénéité, quand on a pris pour unité une ligne de la figure. — Supposons qu'en prenant pour unité une longueur L on ait obtenu l'équation
Cette relation devient homogène et de degré o, si l'on remplace «', 6', . . ., k' respectivement par
a, h., . . ., / étant les mesures des lignes A, B, . . ., L rapportées à
une unité arbitraire, et l'on obtient ainsi
Si la relation (i) est algébrique et entière, on réduira tous les termes de l'équation (2) au même dénominateur qui sera une puissance de /, soit /'"; en multipliant le premier membre de l'équation (2) par l"', on obtiendra une équation algébrique, entière et homogène de degré m,
7. Exemple. — En désignant par b' , c' les mesures des côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle dont l'hypoténuse est prise pour unité de longueur, on a
Donc, en désignant par a, b^ c les mesures des trois côtés rapportés à une unité arbitraire,
ou, en multipliant par a^,
8. Cas où la relation contient des aires, des volumes, etc. — On considère encore des relations dans lesquelles interviennent des aires ou des volumes. L'aire s d'une surface peut être remplacée par celle du carré équivalent, de même le volume v d'un solide peut être remplacé par le volume du cube équivalent. En appelant a et b les côtés du carré ou du cube équivalents à la surface ou au solide considéré, on peut remplacer s par a- et ç par b^ ; d'après cela, si les lettres s, ç, ... désignent, dans une formule fournie par un théorème de Géométrie, une aire ou un volume, il faudra, pour vérifier l'homogénéité, compter s comme étant du second degré et v du troisième. Ainsi les formules s = a.b, v = a.b.c, qui donnent, la première : l'aire d'un rectangle ayant pour côtés a, b, et la seconde : le volume du parallélépipède ayant pour arêtes a, 6, c, sont homogènes.
On vérifiera de même que les formules de la Mécanique sont homogènes, pourvu que l'on regarde le temps comme un nombre,
une vitesse ou une accélération comme une longueur. Ainsi les formules V = gt^ e= - gl- sont homogènes, en regardant v, e, g comme étant du premier degré et t du degré zéro.
9. Utilité de V homogénéité. — Les relations fournies par la Géométrie devant être homogènes, si dans le courant d'un calcul on arrive à une équation non homogène, on peut être assuré qu'on a commis une faute de calcul, à moins toutefois qu'on n'ait choisi pour unité une ligne de la figure. Mais, dans ce dernier cas, on peut rétablir l'homogénéité. S'il n'en est pas ainsi, il faut recommencer les calculs jusqu'à ce que l'on ait découvert les erreurs; on peut ainsi exercer sur les calculs un précieux contrôle qu'il ne faut jamais négliger.
Constructions géométriques.
10. Conditions de possibilité. — Soient a, ^, ..., /des longueurs données et x une longueur que l'on se propose de construire, sachant que
l'unité de longueur étant arbitraire.
Pour que le problème soit possible, il est nécessaire que la fonction / soil homogène et du premier degré, car, si l'on change d'unité, les mesures des lignes considérées seront toutes multipliées par un même nombre t\ de sorte que
tx =f{ta, tb, ..., tl), ce qui exige que
/{ta, tb, ..., tl)=tf{a, b, ..., l).
Cette identité exprime que la fonctiony doit être une fonction homogène de degré i.
En second lieu, si l'on n'admet que les constructions qui peuvent être réalisées à l'aide de la règle et du compas, il faut encore que la fonction / satisfasse à certaines conditions que nous ne ferons qu'indiquer, en renvoyant le lecteur au livre remarquable de M. J. Petersen, Méthodes et théories pour la résolution des problèmes de constructions géométriques ('). L'auteur
(') Paris, Gauthier-Villars et fds, traduit par M. O. Chemin.
démontre que la condition nécessaire et suffisante pour qu'un problème puisse se résoudre avec la règle et le compas, c'est que les quantités cherchées puissent s'exprimer rationnellement au moyen de quantités données et de racines carrées (p. io6).
11. Construction d^ expressions rationnelles. — Dans ce qui va suivre, a, b^ ...,/,«', . . . , /' désigneront des longueurs données, X sera la ligne à construire.
1° On a appris, dans le cours de Géométrie élémentaire, à construire une quatrième ou une troisième proportionnelle^ c'est-à-dire une ligne x définie par l'une des équalions
ah «2
iP = — ou a? = — c c
Nous supposons ces constructions connues.
2° Il en résulte que l'on peut construire la ligne x définie par
l'équation
abcd. . .1 b C d . . .1
le numérateur contenant une longueur de plus que le dénominateur. Si l'on construit la ligne a quatrième proportionnelle à h\ a, 6, on peut poser
CLcd. . . l
Le problème est simplifié puisque chacun des deux termes de cette seconde fraction contient une longueur de moins que dans la première; de même, en construisant
il reste à construire
et ainsi de suite; finalement on aura à construire une quatrième proportionnelle
3° Si A, B, . . ., L désignent des monômes rationnels de degré m et A', B', . . . , L' des monômes rationnels de degré m — i , formés avec des lettres a,b^ . . . désignant des longueurs, on peut construire
PRÉLIMLXAIRES.
la longueur
