La méthode suivanle est due à Edouard Lucas

Soit ABC un triangle; nous regarderons l'aire de ce triangle comme positive si un mobile, parcourant la circonférence du cercle circonscrit à ABC, de manière à rencontrer successivement les sommets A, B, G, tourne dans le sens positif; dans le cas contraire, nous regarderons cette aire comme négative. On peut dire encore dans le premier cas qu'un observateur qui parcourt le périmètre dans le sens ABC a constamment l'aire du triangle à sa gauche.

Cela étant, soient ABC, A'BC deux triangles ayant même base BC et des sommets différents; si l'équation du côté BC est Aa?-H Bj' -h C = o, et si les coordonnées des points A et A' sont X\, yx et x^^y^, et si l'on représente par ABC et A'BC les mesures algébriques des aires de ces triangles définies comme nous venons de le faire.

ABC Aa^i+BjKi

A'BC Aa^2-+- Bj'2-t-

car les valeurs absolues des aires de ces triangles sont entre elles comme les distances des sommets non communs à la base commune, et, d'autre part, suivant que les points A et A' sont d'un même côté de la base ou de côtés différents, les aires ont le même signe ou des signes différents.

Gela posé, soient ABC, A'B'C deux, triangles quelconques et x^, y^ a^î» JK2> •••) ^6, y s les coordonnées de leurs sommets respectifs; en appliquant les remarques précédentes, on a successivement