BC BD

Fi2. 52.

on en conclut que A et B sont conjugués harmoniques par rapport à C et D. On dit encore que les quatre points A, B, C, D forment une division harmonique. On convient toujours d'énoncer ces quatre

points de façon que les deux premiers soient conjugués par rap- 0 A """ c B 0 X. port aux deux derniers.

Supposons que l'on prenne sur la droite AB une origine quelconque O et une direction positive Ox, et que les points A, B, C, D aient respectivement pour abscisses x,, x-i^ Xz^ X.; ; la conjugaison harmonique de ces quatre points est définie par l'équation

ou bien

(a?! -t- 372 )( 373-1-^:4) = I^X^X^i-^- XzXi,).

14-0. En plaçant diversement l'origine, on met la relation harmonique sous différentes formes particulières : 1° Si l'on suppose l'ori-

gine placée en D de sorte que Xi^-= o, la relation générale (2) devient

ou

c'est-à-dire

DG

Dl"^" DB

Cette relation est donc équivalente à la relation (i). Elle exprime que le segment DG est la moyenne harmonique des segments DA et DB.

La relation (3) a été généralisée : étant donnés n points en ligne droite Al, A2, ..., A„, on appelle conjugué harmonique d'un point 0 pris sur la droite considérée, par rapport aux points Ai, A2, ..., A« le point M défini par l'équation

2° Supposons en second lieu l'origine placée au milieu de AB; dans ce cas ^1 + jCo = o et la relation (2) devient

Ainsi, en supposant que le point O i^fig' 53) soit le milieu de AB et que G et D soient conjugués harmoniques par rapport à A et B, on a Fig- 53.

ÔG.ÔD = C)Â^

et réciproquement. Gette relation exprime ({ue le cercle décrit sur AB comme diamètre coupe à angle droit tout cercle passant par G et D. Réciproquement, si ces cercles se coupent à angle droit. A, B, G, D est une division harmonique.

3° Enfin l'égalité (3) peut prendre une autre forme; en effet, on en déduit

c'est-à-dire, en supposant toujours que le point O soit le milieu

NiEWENGLOWSKi. — G. an., I. 7

de AB,