DA.DB = DG.DO

AG 14i. Il convient encore de remarquer que, si -v-pr = /r, on a

CA A--t-i CB ~ A — 1 *

Rapport auharmonîque.

142. Etant donnés quatre points en ligne droite A, B, C, D, nous appellerons rapport anharmo nique de ces quatre points le rapport

en • rm *^"' ^^ conservant les notations précédentes,

Xi — x^ .ri — Xi,

X^ X^ X^ — Xi,

INous représenterons ce rapport par la notation (ABCD).

On vérifie sans difficulté que le rapport anharmonique des quatre points

H-}.i ' 1-4- Xi / ' ' \ 14- X4 ' H-Xi

est égal à

Xl X3 Al Ày

\43. Remarque.— D'une manière générale, si l'on appelle 7'a/)/?orf anharmonique le quotient des rapports des distances de deux des points aux deux autres, ce qui donne les rapports (ABCD), (AGBD), (ACDB), ..., on obtient ainsi 1.2.3.4 ou 24 rapports. Ces rapports sont égaux quatre par quatre. En effet, on a par exemple '

CA . DA GA.DB DB.CA AC.BD BD.AG ^ -*" GB • DB ~ GB.DA ~ DA.GB " AD.BG " BC.Ab'

c'est-à-dire

(ABCD) = (BADC) = (GDAB) = (DCBA),

ce qui donne quatre rapports égaux dans lesquels AetB sont conjugués ainsi que C et D. Donc le rapport anharmonique de quatre points ne change pas quand on permute deux de ces points pourvu que Von permute en même temps les deux autres.

Si l'on permute deux points conjugués sans permuter les deux autres, on

LIGNE DROITE. go

obtient le rapport inverse; le rapport (ABCD) est égal à l'inverse du rapport (ABDG).

Les rapports

(ABCD), (AGDB), (ADCB)

sont distincts. Désignons-les par X, [i, v. De l'identité

on déduit

ou bien

c'est-à-dire