Soity(:c, y) un polynôme de degré m\ ce polynôme étant

mis sous la forme

si l'on représente par F(X, Y, Z) le polynôme homogène et de degré m

cp,„(X, Y) -\-Zo,n-i(X, Y) + Z2(f,„2(X, Y) +. . .-I- Z'«-icpi(X, Y) + Z'«(fo,

on a identiquement

Gela posé, à toute solution x := a^ y =^ b àe l'équation f{x, y) = o correspond une solution de l'équation F(X, Y, Z) = o, savoir X = Xa, Y = XZ>, Z = X, X étant arbitraire.

Réciproquement, si l'équation F(X, Y, Z) = o est vérifiée en posant X = «, Y = b,Z = c] remarquons d'abord qu'elle le sera aussi en posant X = la, Y = À^, Z = "kc. Quelle que soit la valeur de X,

l'équation y(x,j)/) = o admet la solution x= -, y= -y en supposant c^o. On voit ainsi que la courbe G, ayant pour équation ./(^> y) = o? peut aussi bien être représentée par l'équation homogène"F(X,Y,Z) = o.

Supposons maintenant que cette équation homogène admette la solution X ^ a, Y = p, Z = o, et soient ^oijKo les coordonnées d'un point A et a, b les paramètres directeurs d'une droite A. Menons par A une parallèle AB à la droite A. Les coordonnées d'un point M de AM étant a:^ = Xo-+-ap,y=yo-+- bp, ce point sera sur la courbe G, si l'on remplace p par une racine de l'équation

/(a7o,4-«p, Jo+6p) = o.

Or le coefficient de p"* est cp„j(a, b) ou F(a, b, o). Donc, si l'on suppose que a tende vers a et b vers [3, l'un au moins des points d'intersection de la sécante AB et de la courbe G s'éloigne à l'infini. On peut dire encore que la courbe G a, dans ce cas, un point à l'infini, ayant pour coordonnées a, P, o.

L'équation d'une droite Ax -+- By + G = o devient, en coordonnées homogènes,

AX + BY4-CZ = o;

il revient au même de dire que B, — A sont les paramètres direc-

leurs de cette droite, ou que le point à l'infini (B, — A, o) est sur la même droite; on trouve ainsi pour chaque droite un seul point à l'infini.

170. L'équation d'une droite, en coordonnées homogènes, A.X -h BY -(- CZ = o, se réduit à Z = o, quand A et B tendent vers zéro, C restant différent de zéro, c'est-à-dire quand la droite considérée disparaît à l'infini. Or nous avons vu que la condition nécessaire et suffisante pour qu'un point soit à l'infini est que le Z de ce point soit nul. Pour ces" raisons, on convient de dire que tous les points à l'infini d'un plan sont sur une droite fictive qu'on nomme la droite de V infini et qui est définie par l'équation Z = o.

171. Nous avons trouvé les coordonnées (^x^ y') du point M qui

M M divise un segment Mi M2 dans le rapport -^~ = — À; x^^y^ et

•^•ity-i étant les coordonnées cartésiennes des points M< et Mo, on a

Si l'on pose j?=— , y=--, ^, =:— i, ..., ces formules se trans- *■ Z "^ Z Zi

forment de la manière suivante. Considérons la première, par exemple ; elle devient

Z i + X Zi+XZ,

et, en posant —^ = a,

De même

X X, -+- ixXj Z Zi-H [iZj

Y ^ Y. + jjtY, Z 'L\-\- \j.'Li

et, par suite, les coordonnées homogènes du point M sont déterminées par les formules

Xi-i-[jiX2 Y,-i-[jiY2 Zj-i-ixZ,

mais il convient de remarquer que l'on n'a pas, en général,

MMi-t- [jlMM2= o, à moins que Z, = Zo.

On suppose Z, ^ o, Zo^ o; la condition )k ='o entraîne p. = o et réciproquement. Si X est infini, il en est de même de [x. Soient a', X" deux valeurs attribuées à X, et jjl', u." les valeurs correspondantes de p.; les équations )/:=)/' et p.'=: jjl" sont équivalentes; de même pour V =r. — V et [ji'= — pi", et, plus généralement, si V = aV , on a aussi [>■"= a^i'.

D'après cela, si l'on considère deux points M,, M2 ayant respectivement pour coordonnées homogènes X), Y,, Zj et X2, Y2, Z2 ; le point M, ayant pour coordonnées homogènes X, + u-Xj, Y, + [xYa, Z,-|-pi.Z2, est un point de la droite M,M2. Si [x varie de — oc à + 00, le point M décrit la droite M,M2 tout entière; si pi = o, M coïncide avec M) ; si [x est infini, M coïncide avec M2, car on peut

dire que les coordonnées de M sont - X, 4- Xo , - Y* -4- Yo ,

iZ, + Z2.

Le rapport anharmonique des quatre points [Ji), [J1.2, u^s, [Ji.4 est égal

Hl — [J.4 ■ [^2 — 1^4

Les quatre points (X,, Y<, Z,), (X2, Yo, Zo), (X, + XX2, . . .), (X, — XX2, . . .) forment une division harmonique. Enfin, si l'on considère les points variables

(X1 + XX2, YiH-XY2, Z1 + XZ2) et (Xa+fJiXi, Ys+jxYi, Z3+[JtZ4);

si ces points se correspondent de façon que

A X[JL + BX -1- C [x-j- D = o,

A, B, C, D étant des constantes, on voit qu'à chaque point M de la droite M, M 2 correspond un point M' pris sur M3M4 et réciproquement. On dit alors que les points M et M' tracent sur les deux droites considérées deux divisions homographiques.

Supposons maintenant que le point M2 soit à l'infini et, par suite, soit Z2=o; le point M, ayant pour coordonnées homogènes X, + XX2, Y, + A Y2, Z, , a pour coordonnées cartésiennes

Xl / „ Yl À -. ^ .r

=- + --X2, ^-+-^Y2 OU Xi+X^p, ^l4-Y2p,