COORDONNÉES HOMOGÈNES, COORDONNÉES TRILINÉAIRBS
en posanl y- = p. C'est donc un poinl de la droite menée par M, cl
ayant pour paramètres directeurs X2 et Yo, c'est-à-dire un point de M, Mo; on peut donc étendre ce qui précède au cas où l'un des points M, ou Mo est à l'infini.
Coordonnées trilinéaires.
171. Soient x,y, z les coordonnées homogènes d'un point, et a, ^, •( trois nouvelles variables liées à x,y, z par les équations
oL = Vx-+-qy-^i\z, ^=^P'x-\-qy-^Kz, -( = p"x-hqy~^R"z,
le déterminant
D = P' Q' R' P" Q" R" 1 étant durèrent de zéro.
A tout point M du plan correspond un système de valeurs de a, p, y proportionnelles à des nombres déterminés et réciproquement, si l'on suppose a, p, Y proportionnels à des nombres donnés, de sorte que oi — loci, P = XPi, Y = ^Yi) on pourra résoudre le système
¥x -h Qy
-R^ =Xa,,
p'x -h qy
-i-R"-- = ).Yi,
le déterminant de ce système étant différent de zéro. On voit que, si X varie, la solution du système précédent varie aussi; mais x, y, z restent proportionnels à des nombres donnés et, par conséquent, à tout système de valeurs de a, p, Y proportionnelles à des nombres donnés correspond un point déterminé M. On peut donc prendre pour coordonnées trois fonctions linéaires, distinctes de x,y, z; on dit que ces fonctions a, p, y sont les coordonnées trilinéaires du point M, dont x,y, z sont les coordonnées homogènes.
Les droites représentées par les équations a = o, ^ = o, y = o respectivement, c'est-à-dire les droites représentées par les équations
Pa?-+-Q7+ R^ = 0, P'^ + Q>-^ R- = 0, p^r-4- Q> -f- R"^ = o,
forment, en général, un triangle, puisqu'on suppose le déterminant D^o; mais il convient de remarquer que deux, de ces droites peuvent être parallèles, la troisième les rencontrant toutes deux. L'une de ces droites peut être rejetée à l'infini, les deux autres étant concourantes, et enfin une ou plusieurs d'entre elles peuvent être imaginaires. Par exemple, on peut j)oser ol — x h- j i, P = x — yi, Y = -5.
Il est évident que les coordonnées homogènes ne sont qu'un cas particulier des coordonnées trilinéaires.
472. Considérons plus particulièrement le cas oîi les coefficients des fonctions a, j3, Y sont tous réels, et supposons que les droites a = o, ^ = o, y = o forment un triangle véritable ABC, que l'on nomme triangle de référence.
Rapportons la figure à deux axes de coordonnées rectangulaires OX, OY, l'origine étant à l'intérieur du triangle de référence; en outre, supposons le sens positif de rotation choisi de façon qu'un rayon tournant autour de l'origine dans le sens positif rencontre les sommets du triangle dans l'ordre A, B, G. Cela étant, on peut représenter les côtés BG, CA, AB par des équations
de la forme
X cos cp -f- Y sin cp — A — o,
X cos^}^ + Y sin^}; — A" = o, X cos G -t- Y sinO — l = o.
On a donc (80), X, [jl, v étant des constantes,
P - + Q "T + R =X(Xcoscp ^ Ysincp — A), P' £ +Q'Z + R'== ;jt(Xcos4^-f- Ysin^— A-),
et, par suite,
P" î + Q" Z 4- R" = V (X cose -^ Y sin 6 — / )
a == X z{X. costp -f- Y sinç — li), P = fx ^(X cos4/ ^ Y sint}; — k), Y ES V s(X cos6 -r- Y sinO — / ).
Si l'on suppose h, k, l positifs, les polynômes entre parenthèses représentent respectivement les distances du point (X, Y) aux trois côtés du triangle de référence, chacune de ces distances étant regardée comme négative quand le point (X, Y) est du même côté que l'origine par rapport au côté considéré, et positive dans le cas contraire; de sorte qu'en désignant par aj, pi, Yi les mesures algébriques de ces distances, on peut poser
g p Y Xai ~ [xpi ~ vYi
On obtient ainsi une infinité de systèmes de coordonnées trilinéaires, caractérisés par les nombres X, [ji, v. Si l'on suppose X = ix = v, les coordonnées d'un point M sont proportionnelles aux distances de ce point aux côtés du triangle de référence. Dans ce cas particulier, les coordonnées d'un point M ont toutes les trois le même signe quand ce point est à l'intérieur du triangle de référence, et si le point M se déplace et traverse l'un des côtés du triangle, la coordonnée correspondante change de signe. Ce système particulier de
