COORDONNÉES HOMOGÈNES, COORDONNÉES TRILINËAIRES

coordonnées a reçu le nom de système de coordonnées trilinéaires normales ou coordonnées trilatères.

Soient x,y les coordonnées rectangulaires d'un point M, et ux->r vy-\- i = o l'équation d'une droite A; on peut poser

oi — X, ^ =y, ^( = ux -\- vy -\- \.

Si A s'éloigne à l'infini, u et v tendent vers zéro, et les coordonnées du point M ont pour limites x, y, i.

On peut encore remarquer que si «i, ^j, yi sont les distances de M aux côtés du triangle de référence formé par les axes et la droite A, et si l'on nomme h la distance de l'origine à A, on a posé

Si A s'éloigne indéfiniment en conservant une direction fixe, on a évidemment

k étant la projection de OM sur une perpendiculaire à A; donc -j- a pour

limite i. On ferait une démonstration analogue avec des axes obliques. Donc, quand on rapporte un point à deux axes, on peut dire que le triangle de référence est formé par ces deux axes et la droite de l'infini.

173. Relation entre les coordonnées normales d'un point. — Étant donné un point M, ses distances aux trois côtés du triangle de référence sont déterminées en grandeur et en signe; mais on ne peut pas, en général, déterminer un point dont les coordonnées normales soient égales à des nombres donnés; il y a, en effet, entre ces coordonnées une relation linéaire que nous allons établir.

Reprenons les équations qui définissent a, p, y, et cherchons, d'une manière générale, à quelle condition on peut supposer 5 = i, et prendre, par suite, pour x, y les coordonnées cartésiennes du point M. On pose alors

Pa7 -^ Q7 -+- R Vx -+- Q> -i- R' V"x r- Q> -k- R"

d'où l'on tire, en éliminant x et y,