I P Q R P' Q' IV I P" Q" R
Il y a, par suite, entre a, p, y une relation linéaire rcL-^ r'^-^r"^= D,
128 CHAPITRE m.
/•, /•', r" , D étant quatre constantes, toutes les quatre différentes de zéro, si le triangle de référence existe.
Dans le cas général, on a
d'où il résulte que la droite de l'infini (^ = o) a pour équation
Occupons-nous maintenant des coordonnées normales et posons
a = A — X coscp — y sincp, P = A" — iccos^j; — ys'in^, ^i — l — a; cos6 — ^ sinO ;
la relation entre a, p, y sera
a sin(6 — <|i) -h ^ sin(cp — 0) -i- y s»» {^ — o) — Asin(6 — tj;)-+- A-sin(œ — 0)-4- l sin(<\i — cp).
On peut aisément transformer celte relation en y introduisant les angles A, B, G du triangle de référence. Supposons d'abord l'axe OX parallèle à BG , et l'axe OY dirigé de façon que l'ordonnée de A soit positive. Dans ces conditions, on peut poser
d'où
0 — 4/ = B-f-G, cp — Oz^TT — B, '^ — cp = — (tt + G).
Gela étant, si l'on fait tourner les axes d'un angle <x>, chacun des angl^ es, 'l, 6 augmentant de w, les différences précédentes ne changeront pas. La relation fondamentale devient ainsi
a sin A -1- p sinB -l- y sinG = h sinA -H /c sinB -h / sinG,
ou encore, a, b, c désignant les côtés du triangle de référence et aS le double de sa surface,
aoL-hb'^-hcy^: ah -h bk -\~ cl ^^ iS,
puisque h, k, l sont les dislances de l'origine aux trois côtés du triangle. La droite de l'infini a donc pour équation, en coordonnées normales,
a sin A + j3 sinB + y sin G — o ou encore
aa -i- èp -!- cy = o.
174. On peut disposer des paramètres X, \t., v de façon qu'une droite don-
née soit représentée par une équation du premier degré ayant des coefficients donnés d'avance. Soient, en effet, «i, Pi, yi les coordonnées normales et iioti-h v^i-i- wyi = o l'équation d'une droite déterminée. Cette droite aura pour équation
La -i-Mp-i-NY= o,
si l'on pose a — Xaj, ^ = [jl^j, y = vyi, à condition que
LÀ MjjL Nv
en particulier, si l'on suppose — = - = — , l'équation de la droite donnée sera, dans le système choisi,
175. Coordonnées barycentriques. — On nomme ainsi un système de coordonnées trilinéaires dans lequel la droite de l'infini a pour équation
D'après ce qui précède (n° 174), pour que la droite de l'infini ait pour équation
La-hMp-(-NY = o, on doit supposer
LX Mjx N^
abc' et en particulier, si L = M = N :
Donc, dans ce cas, on peut poser
a = a(/i — X coso — ^ sincp), P = b(k — a7cos«}^ — j'sint]^), Y = c{l — X cosO — ^ sinO ).
Les coordonnées a, p, y d'un point M sont alors proportionnelles aux produits des distances de ce point aux côtés du triangle de référence multipliées chacune par la longueur du côté correspondant, ou, ce qui revient au même, elles sont proportionnelles aux aires des triangles MBG, MCA, MAB. On voit encore aisément que, si l'on suppose que A, B, G soient des points matériels ayant pour masses a, p, y» le centre de gravité de ce système sera précisément le point M ayant pour coordonnées a, p, y ; ce qui explique le nom de coordonnées barycentriques que Môbius a donné à ce système qu'il a employé le premier.
176. Equation d'une courbe en coordonnées trilinéaires. — Soit NiEWENOLOWSKi. — G. an., \. 9
l3o CHAPITRE III.
/■(X, Y) = o l'équation d'une courbe rapportée à un système de coordonnées rectilignes. Nous pouvons, en premier lieu, remplacer ces coordonnées par des coordonnées homogènes et nous obtiendrons ainsi une équation homogène F(a7, y^ ^) = o, comme nous l'avons déjà expliqué. En second lieu, on peut, au moyen d'une substitution linéaire, passer des coordonnées homogènes à un système de coordonnées trilinéaires : on obtient ainsi une équation homogène Fi(a, p, y) = o.
Réciproquement, toute équation homogène Fi(a, p, y) = o, dans laquelle a, p, Y sont des fonctions linéaires et homogènes de trois variables a?, y^ s,
peut se mettre sous la forme F (a?, y, z) = o, ou encore, en posant - = X,
— = X, sous la forme F(X, Y, i) = o, ou plus simplement/(X, Y) = o. Il en
est de même, d'ailleurs, de toute équation entre des fonctions linéaires, homogènes ou non, des variables X, Y.
On peut obtenir souvent l'équation d'une courbe en coordonnées trilinéaires sous forme non homogène, mais il est toujours facile de rétablir l'homogénéité. Supposons, en effet, qu'on ait obtenu l'équation algébrique, non homogène et de degré m, /(a, P,y) = o et soit Aa^P'^y^" un terme de /(a, p. y), tel que u-\- v -\- w <,în. Supposons que le terme de degré le plus faible soit de degré m! ^ m' pouvant d'ailleurs être nul. Si a, p, y sont des fonctions de x et y, liées par la relation fondamentale ra -t-/-'[3 -f- /-"y = D, on multipliera tous les termes de l'équation par D'"-'"'; mais, au lieu de A «" P" Y"" D'"-'"', on écrira
Aa« P''Y"'( /-a -t- /'' ^ -t- ,."y)'«-«-i'-h'D"+''+«'-'"', et de même pour tous les termes de degré moindre que m.
177. Équation de la droite passant par deux points dont on donne les coordonnées trilinéaires (a'. P',y'), («", P", y")- — L'équation demandée est évidemment
a(jB'y"-y'P") + P(Y'a"-a'Y")-l-y(a'P"-P'a") = o.
178. L'équation d'une droite étant mise sous la forme Ma-l-('P-l-«'y = o, on voit que cette droite est déterminée si l'on connaît les coefficients u, v, w ou simplement leurs rapports. On peut donc désigner une droite par le système (m, p, w) des coefficients des coordonnées courantes a, p, y dans l'équation de cette droite. Pour cette raison, u, v, w se nomment les coordonnées de la droite; mais, pour éviter toute confusion, ces coordonnées d'une nouvelle espèce ont été appelées coordonnées tangentielles ; nous verrons plus tard la raison de cette dénomination. Les coordonnées rectilignes ou trilinéaires se nomment, par opposition, coordonnées ponctuelles.
COORDONNÉES HOMOGÈNES, COORDONNÉES TRILINÉAIRES. l3l
Il résulte de ce qui précède que les coordonnées tangentielles de la droite passant par les points M'(a', P', y') et M"(a", p", y') sont
479. Coordonnées du point de concours des droites {u',v',w') et {u!', v", w"). — Les deux, équations simultanées
u' oi -T- v' ^ ■+■ ip'y = o, ua H- t^''^ -(- <v"y = o donnent
donc le point de concours des deux droites considérées a pour coordonnées ponctuelles
v' (v" — w'v", w' u" — it' w", u'v" — v' u".
180. Condition pour que deux droites soient parallèles. — Il résulte de ce qui précède que le point de concours des deux droites (m', p', tv'), (i<", v" 1 w") sera à l'infini si
En particulier, dans le cas des coordonnées normales , la condition de parallélisme est
(f'iv" — w'v") sin A -H {w'u" — u' w") sinB -^ {u'v" — v' u") sin C = o.
181. Équation générale des droites parallèles à une droite donnée. —
Soit
Ma-t-f^-f-tvY — o
l'équation d'une droite donnée. En désignant par k une constante arbitraire, l'équation demandée est, en coordonnées homogènes,
«a -H t-p -f- (vy -f- kz = o.
-Mais nous avons trouvé l'identité
/•a-i-/-'^ + /-"Y= Dj;
l'équation générale cherchée est donc
D(«a-4-t'P-(-wY)-T-A-(ra-i-r'P-i- r" y ) = o.
On obtient immédiatement cette équation en écrivant l'équation d'une droite passant par le point de concours de la droite donnée et de la droite de l'infini.
L'équation
(«a-t-p^-f- (VY)(ra'-f-r'P'-+-/-''Y') — (««'-<-^'P'-+- •ï' y' )(''«-+-'•' P -+-'•" Y ) = » représente la parallèle à la droite donnée qui passe par le point (a', B', y').
182. Formules de transformation de coordonnées ponctuelles ou tangentielles. — Les équations fondamentales
donnent
a = ?X -\- QjK -4- R^, p = P':p -h Q'jK -I- R'^,
Dx = pa. -t- p' ^ -^ p"y, Dz = ra -h r'^ -i- /-"y,
p, p', . . . , r" désignant les mineurs de D, précédés de signes convenablement choisis.
Si, dans l'équation d'une droite (u, v, w), on remplace a, p, y P'*'' leurs expressions en x,y, z, on obtiendra l'identité
où
f Mi = Pm-+ PV -t-P'V, { (Vi = Rm
RV -1- R"w,
et l'on déduit de ces formules
Dm =/>M] -+- çi'i -+- rwi, Dv = p' Ui -\- q' Pi-+- >''wi, ï)w = p" Ui-\- q" Vi -+- r" vci,
Soient {x, y, z), {x' , y', z') les coordonnées homogènes de deux points, et (a, B, y), (a', P',y') leurs coordonnées trilinéaires; on déduit de (i)
Py'-ïP'=
P'x -\- Q> -4- R'-s P'x' -+- Qy + Kz' P"x -4- Q> 4- R"5 P"x' + Q'>'-+- R"z' P' Q' R' ^ r i
donc
et l'on en tire (6)
Py'— yP' = /) (^yz' — zy')-^q {zx'—xz')^r (xy'~yx'), ya' — OLy' = p' (yz' — zy') -+- q' (zx' — xz') -\- r' (xy' — JK^'), a^'— ^ol' = p" {yz' — zy' ) -+- q"(zx' — xz') -\- r'^xy — yx'),
, \){yz'-zy') = P (py' yP') + P'(ya'ay') + P"(«P'- pa'), j X){zx' - xz') = Q(Py' yP') -t- Q'(Ya'- ay') + Q"(ap'- ?«'), J){xy'-yx') = R(Py'YP')+ R'(Ya'-aY') + R"(ap'- [Ba'}-
COORDONNÉES HOMOGÈNES, COORDONNÉES TRILINÉAIRES. l33
On aurait des formules analogues pour les coordonnées tangentielles,
