La droite A, représentée par l'équation

Ua ■+- i>^ -H Wy = O,

sépare le [)Ian en deux, régions. Mais, pour deux points (a, p, y) et (a', P', y'), situés d'un même côté de cette droite, les expressions ua-h v^ -i- w'( et Ma'-h f^'-f- tvy' peuvent avoir le même signe ou des signes contraires, car on peut multiplier les coordonnées homogènes ou les coordonnées trilinéaires d'un point par un facteur arbitraire positif ou négatif. L'identité

z montre que l'expression

ou l'expression équivalente

Ti{ua -\- v'^ -^ w^)

conserve un signe invariable pour tous les points situes d'un côté déterminé de la droite A. Le facteur D étant constant, on peut se borner à considérer la fraction

/• a -+- r' fi H- /-"y 184. Forme absolue. — Soit

l'équation d'une droite A. Cette droite est isotrope, si l'on a u\ -^v\ = o, en

supposant les coordonnées cartésiennes —, ^ rectangulaires. Or

u\ -^v\ =(Pi<-+-P'p + P"tï')2-i-(Qa + Q'ç'-l-Q"(v)2.

Nous désignerons par *(«, v, w) la forme quadratique, égale à la somme de deux carrés, que nous venons d'obtenir, et qui a été nommée par M. Cayley la forme absolue. Le discriminant de cette forme est nul; donc la forme adjointe est un carré parfait, et l'on reconnaît sans difficulté qu'elle est égale au carré de ru + r'v ■+- r'w. Nous avons posé

CL =\{x coscp -7-^sincp — hz), P = \x{x cos^' -i-JK sintp — kz), Y = V (a? cos6 -f-^ sinO — Iz),

et, par suite, la forme absolue a pour expression générale

(Xacosç ■+- |JiPC0s4' -I- vw ces 0)2-1- (Xjisincp -4- [it- sin']> 4- vw sinO *

l34 CHAPITRE m.

OU, en développant,

— 2[jiv.ptv cosA — ivl.wu cosB — aXtx.MP cosG.

18d. Angle de deux droites. — Soient A, A' deux droites, ayant pour équations respectivement

ua -+- ^p -H Mf'Y = o, îf'a + p'P -+- (v'y = o.

En posant (D, D') = V, on a

r.osV —

Le numérateur, eu égard aux formules (3), a pour expression

(Pi< + PV-+-P"(v)(P«i'-{-P't^'^- ?"w') H- (Qîi + Q'i^ -1- QV)(Qif'-i- QV'-+- Q"»/).

Or il est évident que cette expression est égale à la moitié du coefficient de X dans le développement de ^{u -\-\u' , v-^-\v', w -\-\w')\ donc

- [ Il -. V- V \- w —7

1 \ du dv 0^

( 7 ) cos V = ■

\/'î>{u, v, w) 'P{u', i>', w' ) On a de même

sinV^-^"'-"'"»

y/itj -r- i>l ^u'^ -+- v'^ c'est-à-dire

,„, . ,, r{vw' — wv') -{- r'iivu' — uw')-^t'"(uv' — vu')

(8) sinV= j======:z===^ -'

La condition d'orthogonalité des deux droites A, A' est donc

ou ov ow

S'il s'agit de coordonnées normales, on obtient

( uu' -\- vv' -\- ww' — {vw' -\- wv') cosP^ (10)

( — {wu' ^ uw') cosB — {uv' -{- vu') cosG — o.

On obtient d'ailleurs cette condition directement en exprimant que

{u coscp -+- V cos(|; -+- w cosO)(a' coscp + v' cosiii H- w'cosô)