it sin çp +...)("' sin cp -H ,..) = o

En égalant à zéro le numérateur de sinV, on retrouve la condition de parallélisme que nous avons déjà obtenue (180).

COORDONNÉES HOMOGÈNES, COORDONNÉES TRILINÉAIRES. l35

180. Distance de deux points. — Le carré de la distance des deux points {x, y, z), {x',y,z') a pour expression

(ys'—zyy-h(zx'-xz'y- ^ = ^iTi '

c'est-à-dire, en vertu des formules (2) et (6),

D'après cela, l'équation *(Py' — yP'> ya' — ay', (x'^'—^a') — o représente les deux droites isotropes issues du point (a', p', y')*

187. Distance d'un point à une droite. — La distance du point (a7i,^i, Zi) à la droite (u, v, w) a pour expression

I UiXi-i- Viyi-+-WiZi

/ûf

^ D(uxi-hv^i-hw-(i)

"" {rai-hr'^i-V- r'^t) ^<p{u, i>, w)'

188. Trouver les équations des bissectrices, des médianes, des hauteurs, etc. du triangle de référence. — Pour plus de simplicité, nous supposerons qu'il s'agisse de coordonnées normales; mais les méthodes s'appliqueraient à des coordonnées trilinéaires quelconques.

1° La bissectrice intérieure de l'angle A, étant le lieu des points situés à égales distances des côtés AB et AC, a pour équation ^ — ^(-^ o.

La bissectrice extérieure du même angle a pour équation p h- y = o ; car les distances d'un point quelconque de cette bissectrice aux côtés AB, AC ont des signes contraires. On vérifie ainsi, d'ailleurs, que ces deux bissectrices sont conjuguées harmoniques par rapport aux côtés AB, AC.

Les trois bissectrices intérieures, ayant respectivement pour équations

S P — Y ~ ^' ï — a = o, a — p = o, se coupent au point a=p = Y=— >/> désignant le demi-périmètre du triangle de référence. On vérifie ainsi que le rayon du cercle inscrit est égal à — ; on peut ajouter que, les coordonnées

du centre de ce cercle étant égales, on peut les supposer égales à l'unité.

On voit de même que deux bissectrices extérieures et une bissectrice intérieure concourent en un même point, qui est le centre de l'un des cercles exinscrits au triangle de référence. Ainsi, par exemple, les trois bissectrices a-f-p = o, a-<-Y=o, p — Y = o concourent au point — a = p = y ; d'où l'on

S tire, pour le rayon r« du cercle exinscrit tangent au côté AB : ra— •

Les coordonnées dii centre de ce cercle sont — i, i, i.

l36 CHAPITRE III.

1° Médianes. — Le sommet A, ayant pour coordonnées i, o, o, la parallèle à BG menée par A a pour équation (181) 6p-4-CY = o; donc la médiane issue du sommet A, étant la conjuguée harmonique de cette parallèle par rapport aux côtés AB, AG, a pour équation b^ — cy = o.

Les deux autres médianes ayant, d'après cela, pour équations

cy — <T« = o, «a — 6^ = 0,

on voit que ces droites se rencontrent au point I —5 v' - )•

Avec des coordonnées barycentriques, les médianes ont pour équations

et leur point de concours a pour coordonnées i, i, i, ce qui est évident a priori^ puisque, G étant le centre de gravité du triangle, les trois triangles GBG, GGA, GAB sont équivalents.

3° Hauteurs. — L'équation de la hauteur issue du sommet A est de la forme p -t- Xy = o. En exprimant que celte droite est perpendiculaire au côté BG, la condition trouvée plus haut (183) donne

\ cosB -4- cosG = o.

On obtient donc pour la hauteur cherchée l'équation

PcosB — YCOsG=:o;

c'est ce que l'on vérifie en calculant le rapport des distances du pied de la hauteur aux deux côtés AB, AG.

Les deux autres hauteurs ont pour équations

ycosG — acosA = o, acosA — pcosB = o;

on en conclut immédiatement que les trois hauteurs se rencontrent au point

dont les coordonnées normales sont proportionnelles à -, =: , ^'

cosA cosB cosG

4° Perpendiculaires aux milieux des côtés. — La perpendiculaire élevée au milieu D de BG a une équation de la forme

Xa -+- 6p — cy = o ;

en exprimant que cette droite est perpendiculaire à BG, on trouve

X = 6 cos G — c cos B ; son équation est donc

a sin ( B — G ) -h p sin B — Y sin G = o.