COORDONNÉES HOMOGÈNES, COORDONNÉES TRILINËAIRES
On trouvera de même pour les deux autres perpendiculaires
P sin(G — A) -i- Y sinC — asinA = o, Y sin(A — B) -h «sinA — p sinB = 0.
On vérifie aisément que ces trois droites se coupent au point ayant pour coordonnées cosA, cosB, cosG.
5° Équations des perpendiculaires mene'es à l'un des côtés, par ses extrémités. — On trouve, par la même méthode, que les perpendiculaires menées par G et B respectivement, au côté BG, ont pour équations
acosG-+-|3 = o et acosB-HY = o.
Kn remarquant que l'équation
sinB(a cosG -1- P) -H sinC(a cosB -t- y) = o
représente la droite de l'infini, on voit que sa conjuguée par rapport aux perpendiculaires menées aux extrémités de BG, c'est-à-dire la droite équidistante de ces deux dernières, a pour équation
sinB(a cosG -f- (3) — sin G(a cosB 4- y) = o;
c'est bien l'équation trouvée plus haut.
189. Soient x^ jki, -^i et x^, y^, z^ les coordonnées homogènes de deux points Ml, M2; désignons par ai, ^i, yi et a2, ^2, Y2 ce que deviennent les fonctions a, p, y quand on y remplace x^y^ z successivement par x^^yxt z\ et a72,^2, -S2- Si l'on pose a? = ari -t- Xx^^ y =^i-t- Xy^, z = Zi-^ Izi, a, p, y deviennent ai -f- Xa2, Pi-i-Xp2, Yi "*" ^Tî ^^ sont les coordonnées trilinéaires d'un point de Mj M2. On voit, d'après cela, que tout ce qui a été dit au n° 171, concernant les coordonnées homogènes, s'applique aux coordonnées trilinéaires.
Gonsidérons de même deux droites (ui, Vi, wy) et («2, Vi, w^). Le rapport anharmonique du faisceau formé par ces deux droites et parles deux droites
(Ui-hl Ui, i>i-hll>i, Wi-i-lw-i), (Ui-h [lUo, i'i-i- [IVi, tï^i-f- |J!.(V2)
est égal à — • Par suite, le faisceau est harmonique si X -i- [j, = o. Lorsque les paramètres variables X, jj. sont liés par l'équation
(1) AX[ji-HBX-f-G[JL + D =0,
on dit que les droites X, ^i se correspondent homographiquement; elles sont en involution si B = G.
Plus généralement considérons quatre droites quelconques Ai, A2, A3, A^ définies par les paramètres (ui, Vi, wi),(u2, Vz, iv^), («3, ^3, «'3), {u^, t'i, w^);
l38 CHAPITRE 111.
on dit que les droites
(ui-h liii, Vi+lv^, wi-h "kw^) et {U3-h iiu,,, v^-h [xvi,, W3+ [iwi,)
tracent deux faisceaux homographiques si X et |ji satisfont à l'équation précédente. Supposons que Aj et Ag correspondent à A3 et A;. Dans ce cas l'équation (i) doit être vérifiée quand X = o, [x = o et aussi quand X et [jl sont infinis; donc A = o, D = o; elle se réduit donc à [x = kl, k étant une constante. Par suite, la droite [x aura pour coordonnées
W3H-XA-M4, Ç'3-i-XA-f4, W3-{-lkiV!,,
ou, en posant u'^ — ku^, v'^ = AP4, w[ = kwi, :
U3-hXu,,, V3-hlv',,, Ws-hlw',,.
On peut donc, en multipliant par un facteur convenable les coordonnées de A4, définir l'homographie par les systèmes
t<l-f-Xw2, Vi-hXVi, Wi-hXWi,
Us-hlu,,, t's+Xt^^, Ws-^lw,,, • j
et il devient ainsi évident que le rapport anharmonique de quatre droites du premier faisceau est égal au rapport anharmonique des quatre droites correspondantes du second faisceau.
EXERCICES
1. Si deux triangles ABC, A'B'C sont tels que les perpendiculaires abaissées des sommets A, B, G du premier sur les côtés B'C, C'A', A'B' du second soient concourantes, il en est de même des perpendiculaires abaissées des sommets du second triangle sur les côtés du premier. Montrer que si la même propriété a lieu aussi pour les perpendiculaires abaissées de A, B, G sur G' A', A'B', B'C', elle aura encore lieu pour les perpendiculaires abaissées de A, B, G sur A'B', B'C', G' A'.
2. On dit que deux points M, M' sont réciproques quand leurs coordonnées trilinéaires vérifient les relations
aa'=: PP' = Y'f'.
Connaissant les coordonnées normales d'un point M, calculer celles du point réciproque M'. Application à l'orthocentre et au centre du cercle circonscrit.
3. Prouver que les symédianes d'un triangle sont concourantes et calculer les coordonnées normales de leur point de concours.
— On nomme symédiane relative à un angle la symétrique de la médiane partant du sommet de cet angle par rapport à la bissectrice du même angle.
INVARIANTS. 189
i. Trouver un point M tel que
mab = mm: = mca = o,
0 étant un angle donné et ABC désignant le triangle de référence.
5. En prenant pour a\es deux côtés AB, AC du triangle de référence, trouver les coordonnées normales d'un point dont on donne les coordonnées rectilignes.
6. Le point de concours des hauteurs d'un triangle H (orthocentre); le point de concours des médianes G (centre de gravité) et le centre 0 du cercle circonscrit sont en ligne droite, et, en outre, GH = 2 GO.
