Même problème pour chacun des cercles exinscrits

INVARIANTS.

190. On sait (Cours d'Algèbre, t. II, p. 198) que le discriininant d'une forme quadratique est un invariant. Nous nous proposons d'examiner le cas où la substitution linéaire est une transformation de coordonnées.

Considérons d'abord la transformation sans déplacement d'origine. Soient X, y les anciennes coordonnées d'un point M et X, Y ses nouvelles coordonnées. Les paramètres principaux de la demi-droite OX étant (a, ^) et ceux de OY : (a', P'), les formules de transformation sont

(I) a7 = aX-f-a'Y, jK=pX-f-p'Y.

En désignant par 0 l'angle (Oj:-, O^) et par 6' l'angle (OX, OY) et en supposant le plan orienté suivant la convention ordinaire, on a en grandeur

et sisrne

sinO'=(,a^'— 3a')sinO.

l4o CHAPITRE IV.

Le déterminant a^' — ^a' est précisément le module [x de la substitution (i).

On a donc

sinO'

On peut vérifier ce résultat : on sait que

x^^ixycos^-T-y^^ X2+ 2XY cosO'-i- ¥«;

or les discriminants de ces formes sont respectivement sin^ô et sin^ô'; par suite, le discriminant étant un invariant, sin2 6'= sin2 6.[j.2.

Gela posé, la forme Aa72 + aBar^ -H Gjk^ devient, après la transformation de coordonnées, A'X^+aB'XYn- G'Y^, de sorte que

Ax^-h-iBxy -+- GjK^ = A'X2-i- aB'XY + G' Y^,

et par conséquent

d'où, en remplaçant [jl^ par

A'G'— B'2=(AG — B2)[x2; sin26'

sjn26 A'G'— B'2 AG — B2

On a donc ce théorème : Quand on effectue sur la forme A 372-1- ^Bxy -h Cy^ une transformation de coordonnées sans déplacement d'origine, l'expression