AG — B

sin26 reste invariable.

Effectuons maintenant la transformation la plus générale sur la forme quadratique

en posant

-^-ihxy -\- Gy2 -^ iT> xz ~\- 1 Eyi

^ = aX + a'Y-ha"Z, JK=pX-^P'Y-t-P"Z, z= Z.

sin6'

Le module de la substitution est encore égal à aS' — 3a' ou — : — pri cette

' ' sinO

substitution change la forme quadratique donnée en une nouvelle forme, de

sorte que

Ax^-h. . .-H Fz2= A'X2-i-. . .4- F'Z2.

Si l'on pose

A' = A [Ji2

INVARIANTS. l^\

A' A ^" sin^O' ~ sin^e*

D'après cela, si l'on cd'ectuc le changement de coordonnées représenté par les formules

a:- = aX-f-a'Y-4-a", JK = PX -i- p' Y -f- p",

dans le polynôme Ax^-\- 2Tixy -h Cy- -f- iDx ■+■ -zEy-^ F, l'expression . reste invariable; ce qui signifie que,

A'X2-t- 2B'XY -+- C Y2-f- aD'X h- îE'Y -f- F'

désignant le nouveau polynôme du second degré obtenu par la substitution

précédente, 1 expression . ,^, aura la même valeur que —. — r •