Considérons deux formes

A a^2 -i- 2 B iTK -^ GjK^ et Aia^î-t- 281^7/ h- Ci^^

Si ces formes se transforment en

A'X2 + 2 B'XY -i- G' Y2 et A; X'- + 2 B'^ XY -^ C\ Y^,

on en déduit l'identité

(A -i- XA,):F2-i-. . .s(A'H- XA;)X2-4-. . .; donc

(A'-i-XA'i)(G' + XG;)— (B'4-XB',)2^[(A + XA,)(G + XGi)-(B-4-XBi)2][ji2,

et, par conséquent, cette identité ayant lieu quelle que soit la valeur attribuée à X, les coefficients de X doivent être les mêmes dans les deux membres, ce qui donne

A' G', -f-G'A'i— 2B'B'i =(AGi-f-GAi — 2BB,)f'-

Donc, si l'on fait une transformation de coordonnées, on aura

\'C\ +C'A'^— 2B'B; AG,-t-CAi — 2BB, sin2Ô' "" sin^e

En particulier, puisque x^-{- ixy cosQ 4-^25= X2-+- 2XY cos6'4- Y^, on a

A'-4-G'— 2B'cosO' A-4-G — 2Bcose sin^e' ~ sin20

Il est clair qu'un déplacement de l'origine sans changement de direction des axes n'altère pas les coefficients des termes du plus haut degré d'un polynôme ; donc en résumé, en posant AG — B2=8, A-j-G — 28 cos6 = tj quand

l42 CHAPITRE IV.

on effectue sur le polynôme du second degré

A x^ -\- iB cvj -+- Cy^ -t- 2 D 37 + 2 Ey — F

la transformation de coordonnées la plus générale, les trois quantités

0 v) A -Il

-: — r> . - , > -r-—r restent invariables, sin'-^e sin^O sin^O

Mais il est essentiel de remarquer que l'on ne doit supprimer ni introduire aucun facteur commun aux coefficients A', B', ..., F' du polynôme transformé.

192. Application. — Considérons la forme suivante : (\x -{-Byy ou A^x"^ -h -iABxy -hB^y^. Il résulte de ce qui précède que

A2-f-B-^— aABcosO sin^O

reste invariable quand on fait une transformation de coordonnées. Gela étant, soit

Ax-\- By + C — o

l'équation d'une droite A; si l'on effectue une transformation de coordonnées, de façon que

Aa^ + Bj -f- G == A'X -^ B'Y -h C, on aura aussi

(Aar+BjK + C)sinO (A'X -t- BT h- G') sinO' v/A2+B'^— 2ABcos6 ~ v/Â^2~rB'2 ^a'B' cosO'

Ainsi l'expression

(A^ + BjK-+-G)sinO

/A2 4-B2— 2ABcosO'

dans laquelle x, y sont les coordonnées d'un point quelconque M, n'est pas altérée par la transformation de coordonnées la plus générale; elle représente une longueur, comme on s'en assure aisément. Or, supposons que l'on prenne pour nouvel axe des x la droite A elle-même et pour axe des jk une perpendiculaire à A ; nous aurons A' = G' = o, 6' = 90", et par suite

(Aa7H-BjK + G)sinO B^ -4- v /A2-1-B2— 2ABCOSO ~ v/F2 ~ ~

On en conclut que la distance d du point {x, y) à la droite A a pour expression

, (Aa7-}-Br-+-G)sinO

v/A2-f-B2— aABcosU G'est la formule démontrée plus haut.