FAISCEAUX DE DROITES

193. Une équation algébrique de degré supérieur au premier peut représenter un système de droites, comme le montrent les exemples suivants.

1° Une équation à une seule variable y(:r) == o représente des droites parallèles à l'axe des j^.

En effet, à toute solution .r = a de cette équation correspond une parallèle à l'axe des y.

Si/(^) est un poljnome entier en x, de degré m, l'équation précédente se décompose et représente m droites parallèles à l'axe des j^; comme cette équation peut avoir des racines imaginaires ou des racines égales, nous dirons que l'équation représente m droites réelles ou imaginaires, distinctes ou confondues.

Par exemple, l'équation x^ — à^ z= o se décompose en deux autres,

savoir

X — a = o et x-->r ax -\- a^ = o\

elle représente une droite réelle, ^r = «, et deux droites imaginaires conjuguées. Pareillement, une équation algébrique de la forme f{y) = G représente des parallèles à l'axe des x.

2° Une équation algébrique homogène à deux variables

représente un faisceau de droites passant par l'origine. Supposons, en effet, que f(x^y) soit un poljnome homogène de degré m; on sait(C. A., t. II, p. 546) que ce polynôme peut être mis sous la forme d'un produit de facteurs homogènes linéaires

l44 CHAPITRE V.

ce qui prouve que l'équation proposée se décompose en plusieurs autres, homogènes et du premier degré; donc elle représente m droites passant par l'origine, qui d'ailleurs ne sont pas nécessairement distinctes ni toutes réelles.

Le résultat précédent est général; toute équation homogène en x et y^ algébrique ou transcendante, ne représente que des droites passant par l'origine.

3° Une équation transcendante peut aussi définir un système de droites. Ainsi l'équation

sino? = o est équivalente à

X = /CTT,

k désignant un entier quelconque, positif ou négatif; elle représente donc une infinité de parallèles à l'axe des j^.

L'équation

sinip = sin^

représente une double infinité de droites définies par les équations

y = X -^ ik-K, y= — a; -h a/i'TT -H TT.

Ces droites forment un réseau de carrés dont les côtés sont parallèles aux bissectrices des angles formés par les axes.

Faisceaux du second degré.