L'équation

(i) Ax^+7.Bxy-hCy^=o

représente deux droites passant par l'origine. Cherchons dans quel cas ces droites sont réelles.

En supposant d'abord C ^ o, nous remarquerons que, si m et m', sont les racines de l'équation

(2) G«2-i-2Bf-l-A = 0,

le premier membre de l'équation proposée se décompose en deux facteurs du premier degré :

kx^-\- 2Bxy-\- Cy^;^ C{y — mx){y — m'x);

FAISCEAUX DE DROITES. l45

par suite, en posant AG — B2=o, il y a trois cas à distinguer : i" 0 <; o. L'équation (i) représente deux droites réelles et distinctes.

2" 0^0. L'équation (i) représente deux droites imaginaires conjuguées.

3° 8 = o ; dans ce cas, m = m', de sorte que

l'équation (i) ne représente, à vrai dire, qu'une seule droite. Mais, si l'on suppose que o tende vers zéro, les deux droites qu'elle représente, distinctes d'abord, se confondent quand ô devient nul. On dit alors que l'équation (i) représente deua; droites confondues, ou encore une droite double.

Lorsque G = o, l'équation proposée se réduit à Ax--i- ^Bxy^ o; elle se décompose en deux équations du premier degré, et représente deux droites réelles ^ = o, Ax + aBy = o. Or, dans ce cas, 0 = — B^, c'est-à-dire 8 <C o. Ge cas rentre donc dans le premier. Si G = o, B = o, l'équation se réduit à A.r-=o; elle représente une droite double, confondue avec l'axe des y; mais S est alors égal à zéro : c'est conforme au résultat du troisième cas.

On doit d'ailleurs remarquer que, si (] tend vers zéro, une racine de

l'équation (2) grandit indéfiniment et l'autre tend vers x-> et si,

en outre, B tend vers zéro, les deux racines grandissent indéfiniment.

19o. On obtient ces résultats par un autre procédé qu'il est utile de connaître. Le polynôme (i) est décomposable en une somme de carrés, de sorte que l'on peut poser

Aa?^H- iBxy -+- Cy^;;^ t(ax -h by^-i- t'{a' x ■+- b'y)-,

£ et s' désignant des nombres égaux à -t- i ou — 1 ou à zéro, et ab' — ba étant supposé différent de zéro,

La substitution y>. = ax~\-by, Y = a'x-rb'y, ayant pour module {i. = ab' — ba' , fournit l'identité

EX2-4- £'Yî= Aa;2+ aB^TK 4- C72.

Donc (C. A., t. II, p. 536)

0 = ££'.|JLÎ.

NiEWENQLÛWSKI. — G. U/l., I. lO

l46 CHAPITRE V.

Par suite, si 8 < o, on a aussi ££'< o; la forme est alors la différence de deux carrés, c'est-à-dire un produit de deux facteurs réels du premier degré : l'équation (i) représente deux droites réelles. Si 3 > o, on doit supposer s£'>o; le polynôme (i) est la somme de deux carrés, l'équation représente deux droites imaginaires conjuguées. Enfin si S = o l'un des nombres s, e' est nul, on a une droite double; on écarte le cas oùA = B = G=o qui correspond à £ = s' = o.

196. Trouver L'angle des droites représentées par l'équation (i) Aa72-f- 2Ba7jKH-Cj2 o.

Soit 9 l'angle des axes; il s'agit de calculer l'angle V défini par la

formule

(m' — m.) sinO

tangV