I -h mm' -h (m -i- m') cosO

On a formé plus haut l'équation aux coeffîcienls angulaires; on

en déduit

, A , aB

en substituant dans la formule précédente, on obtient

,, , 9./— Ô sin8 (•i) tangV=±-^— ^^

Si m ou m' est infini, on vérifie sans peine que cette formule subsiste.

197. Condition d' orthogonalité. — Pour que tangV soit infini, il faut et il suffit que i\ = o, c'est-à-dire

A -H G — aB cosO = o.

198. Remarques. — I. On peut diriger autrement le calcul en posant

Aa72 j i^xy -t- Cy^ — {bx — ay) {b' x — a' y)

et en partant de la formule

,„. -. (ab' — 6a')sinO

(3) tangV= ^ '

aa' -\- bb' -\- {ab' -\- ba') cos^'

FAISCEAUX DE DROITES. l47

on a en effet

aa'= C, Ob'— A., ab'-r-ba = — 2B, ab' — ba' — ±fJ{ab'-\-ba'Y — ^aa! bb' = rfc 2 y/ — 0.

En particulier, la condition d'orthogonalité des deux, droites s'obtient en posant

aa! -\- bb' -h {ab' -r- ba') cosO = o.

II. La théorie des invariants permet de trouver très facilement tangV. Pour plus de précision, supposons les droites réelles et distinctes et prenonsles pour axes, en posant

Aa72-f-2Bx7+Cj2= aB'XY.

Il suffira d'éliminer B' entre les équations

0 — B"- rj — îB'cosV

SI n26 ~ sin^V ' sin^O ~" sin^V

199. Déterminer le signe que l'on doit choisir dans la formule (-2) pour que V soit l'angle formé par les demi-droites du faisceau qui sont dirigées du côté des y positifs. — Si l'on suppose que (a, b) soient les paramètres directeurs de la première des deux droites avec laquelle l'axe des x se confondrait s'il tournait autour de l'origine dans le sens positif, la formule (3) donne l'angle dont il s'agit. Or, si nous supposons b = b' — i, on aura évidemment a — «' > o ; et par suite

a — a' = -+■ y/( a -F- a')2 — 4 aa'. D'autre part,

\x^-h iBxy ■+- Gy^= \.{x — ay) (x — a'jr),

et par conséquent

a-h a = —i aa — -y a — a=4-2 -■ .- ;

il faut donc poser

ce qui donne

-, 2 J — 0 sinO tangV = £ —!- ,

e étant égal à -f- 1 quand A et positif et à — i quand A est négatif.

l48 CHAPITRE V.

200. Exprimer que les deux faisceaux représentés par \x^+ iBxy -\- G72 — o, A' 372-!- i&xy + Cy'^= o sont conjugués harmoniques.

1° Nous supposons que les droites du premier faisceau donL les coefficients angulaires sont m), m^-, soient conjuguées par rapport aux deux droites du second faisceau, ajant pour coefficients angulaires m3, m^. La condition nécessaire et suffisante pour qu'il en soit ainsi est

( /»i -H /wj ) ( ^3 -f- 7W4 ) = 2 ( ini ni'i + /na m^. ),

c'est-à-dire

G ^ G' ~^VG"^G'

ou, sous forme entière,

AG'+GA'— 2BB' = o.

2° La condition est toute différente si l'on suppose que les rayons conjugués appartiennent à des faisceaux différents. Il s'agit alors d'exprimer, au moyen des coefficients des équations données, la condition suivante :

(mi-l- ni'i) (rn^-+- m;,) = 2 (wim^-t- m^ni'^),

ou, en développant,

nii /n2 -r- niz rn<^ — /?ii ( 2 nx^ — «14) + nXi ( 2 in-^ — ms ).

Le premier membre est connu; pour calculer le second, posons

u — m^i^im-i — /n^) -t-/?i2(2mv — «13)

et considérons l'expression obtenue en permutant /«i et m2, savoir

ce qui donne

et, par suite.

u-\-v= (nîi4- W2)(W3-t- "H) = -qqT

u — v = 3(mi— m^) (rris— lUi) =± — ^qt—

2BB'±6v/ôo^ "= GG^ •