FAISCEAUX DE DROITES

La condition cherchée est donc

AC -f- CA' - a BB' = ± G v/3ô^ ou

IP — 36.o8'=o

en désignant par II l'invariant harmonique AC'-t-CA' — 2BB'. On arrive aux résultats précédents par la théorie des invariants. Dans le premier cas, posons

Deux droites conjuguées harmoniques par rapport aux droites =-

Y = 0 ont des équations de la forme aX H- 6 Y = o, a'X -+- b'X = o avec la

condition 1 ; = o ou ab' -h ba' = o. Mais, si l'on suppose

«X2-t-2PXY + wY2=(aX-l-6Y)(a'X-f-6'Y),

ou voit que

ab' -\- ba' =^ iv;

il s'agit donc d'exprimer que v = o. Or

AG'-h CA'— 2BB' = — 2C [Jl2 ;

donc la condition demandée est II = o.

En second lieu, si les rayons conjugués n'appartiennent pas à un même faisceau, nous poserons

A x'^ -\- o.B X y ^ G j2 uXi-i^-xv XY Mx'^-^iWxy -v-C y^= iv'XX -^w'Y'^

et nous exprimerons que uX-\-iv\ = o, iv'X-\-w'Y = o représentent deux droites conjuguées harmoniques par rapport aux droites X = o, Y = o. La condition est uw' -\- \vv' := o.

Or, \x étant le module de la substitution qui permet de passer des variables X, Y aux variables x, y, on a

(2) 8' =t,'2jji2,

H = {uw'—-i.vv')\L^\ ou, en tenant compte de la relation trouvée plus haut,

(3) \l = — ^vv'\i?.

Il reste à éliminer v\l et v' \i. entre les équations (1), (2), (3), ce qui se fait

l5o CHAPITRE V.

sans difficulté et l'on trouve la relation H2=36.8o'. Il convient de remarquer que ces l'ésultats subsistent avec des coordonnées trilinéaires.

Remarque. — La condition d'orthogonalité r^ = o exprime que les côtés d'un angle droit forment un faisceau harmonique avec les droites isotropes menées par son sommet, ce que nous savions déjà.