Trouver V équation des bissectrices du faisceau
Pour que
>i! x"- ^ ^W xy ^ Q! y'^ = o
représente les bissectrices du faisceau, il faut et il suffit (comme on le démontre sans difficulté en s'appujant sur le n" 146) que ces droites soient rectangulaires et conjuguées harmoniques par rapport aux droites du faisceau donné, c'est-à-dire que A', Ë', G' vérifient les deux, équations
A'-^C— 2B'cose = o, AG'-i-GA'— 2BB'=o.
Si l'on suppose que l'un des mineurs A — C, B — AcosO, B — GcosQ soit différent de zéro, ces équations déterminent les rapports des inconnues A', 2B', C; on aura l'équation cherchée en éliminant A', 2B', C entre les équations précédentes, ce qui donne
x"^ xy y^ I I — cosO I j = o, G — B A I
ou, en développant,
x^{A cos^ — B) -{- xy(X — C) -\- y^(B — Gcos6) = o.
Cette équation représente deux droites réelles quand les coefficients A, B, C sont réels, même si le faisceau donné est composé de droites imaginaires conjuguées, comme le montre l'identité
(A — G)2— 4(AcosO — B)(B — GcosO) = [2B — (A-f-G)cos0]2-4-(A- G)2sin2e;
car le second membre est toujours positif, si l'on écarte l'hjpothèse
FAISCEAUX DE DROITES. Ul
A = C, B = Acos9, pour laquelle le faisceau est isotrope; alors les bissectrices sont indéterminées.
202. Remarque . — D'une manière générale, si les coefficients de l'équation
(i) Aa^î-f-aBa-j-i- C72 — o
sont réels et si
(i) A -+-C — 2B cosO = o,
celte équation représente deux droites réelles. En effet, en tenant compte de la relation (2), on trouve
(A-M^)2sin20 + (A — G)îcos28
4cos2 0
Conditions pour que l'équation du second degré /(a-, y) — o représente deux droites.
203. Si l'équation du second degré f{x^y) ■=. o représente deux droites, on a identiquement
/(^' y) = {u^-^vy -^- w){u'x -T- v'y -i- w'),
et, par suite, en posant
f{cc, y, z) s= kx"^ -i-i^xy -^ ^y--^ 2 Dxz -\- aEyz -+- F-s^,
on aura
f(x, y, z) ^s ( ux -f- pjK -f- ivz){u'x -+■ v'y -+- w' z),
d'oîi il résulte que la forme quadratique /(.r, y, jz-) sera la somme de deux carrés au plus et, par conséquent, son discriminant A sera nul. Nous obtenons ainsi une condition nécessaire A = o. Réciproquement, si celte condition est remplie, f{^, y, -) est la somme de deux carrés distincts ou un carré; dans les deux casf(x,y, z) est le produit de deux facteurs linéaires distincts ou non et, par suite, l'équation f[x^y,z) = o représente deux droites, distinctes ou confondues.
Discussion. — Les coefficients de/(vr, j^, z) étant supposés tous
iSa CHAPITRE V.
réels, soit o le discriminant de la fonction Kx--]r "i^xy + Qy- ou o[x, y). Nous distinguerons plusieurs cas :
1° 0^0. On sait alors que, le discriminant A étant nul et le mineur symétrique o étant différent de zéro,f(x^y, z) est la somme de deux carrés distincts ; si l'on pose
(i) /(^5 J'; ^)^ z(lx -h my H- nzY-\- z' {V x + m' y -\- n' z^,
on a
(2) <:^{x, y)^^z{lx ■+- inyY-^ z{l'x ■+- m'yy-.
Le discriminant de o[x^ y) étant différent de zéro, cette forme est la somme de deux carrés distincts; donc lui' — nil'y^ o; les droites représentées par les équations
Ix + my -i-n^ = o, r X -¥- m'y 4- n'2 = o
sont concourantes; il en est donc de même des droites représentées par l'équation y(^,j^, s) = o, puisque leurs équations peuvent s'écrire
/ ^' Ix -»- m,y -\- nz = àz i/ {V x 4- m' y -t- n' z)\
on voit, en outre, que ces droites sont réelles ou imaginaires, suivant que £ et e' ont des signes contraires ou le même signe, c'està-dire suivant que ô est négatif ou positif; donc, si l'on suppose A = o, ô << o, l'équation fi^x^y, z) = o représente deux droites réelles et concourantes.
Si, au contraire, on a A = o, 0 >- o, l'équation considérée représente deux droites concourantes, imaginaires conjuguées.
2° 0^0. Ce cas se subdivise en deux autres; supposons que l'un des mineurs symétriques AF — D- ou CF — E^ soit différent de zéro, et soit, par exemple, AF — D-^o : la forme f{oc^y^ z) est encore la somme de deux carrés distincts et l'identité (1) subsiste.
L'identité (2) montre que Im' — ml' =^ o, puisque c^[x, y) est un carré parfait ; donc Ix + my -\- nz=- o^ l' x -\- m'y -{- n' z =^ o représentent deux droites parallèles; d'ailleurs ces droites sont distinctes, car on déduit de l'identité (i), en y faisant /y = o,
(3) A.r2+ ilixz -\-¥ z^= z{lx + nzy-^ t' {V X -+- n' zY,
et comme le discriminant AF — D- du premier membre est différent
FAISCEAUX DE DROITES. l53
de zéro, In' — ni' est aussi différent de zéro; en outre, l'identité (3) montre que e et e' ont le même signe ou des signes différents suivant que l'on suppose AF — D- positif ou négatif; donc, si l'on suppose A=:o, 0 = o, AF — D2<o, l'équation /(a:, y, ^) = o représente deux droites parallèles et réelles. Si, au contraire, on suppose A = o, 0 = 0, AF — D2 > o, elle représente deux droites parallèles imaginaires; mais la direction de ces droites est toujours réelle, car elle est donnée par l'équation Ix -\- my =^ o dont les coefficients sont réels.
Enfin, si A = G et si les mineurs AC — B-, AF — D^, CF — Esont nuls tous les trois, l'identité (i) est remplacée par celle-ci
/(^, y, -s) = t{la;-+- my -f- nz)^,
et l'équation /(x,y, z) = o représente alors deux droites confondues.
On peut donc dresser le Tableau suivant :
0 < o : deux droites concourantes réelles.
8 > o : deux droites concourantes imaginaires.
AF — D2< o (ou GF — E2<o) : deux droites parallèles
réelles.
AF — D2> 0 (ou GF — E2> o) : deux droites parallèles o i imaginaires.
AF — D2=o, GF — E2=o : deux droites confondues
(à distance finie si A ou G est différent de o).
204f. Lorsque l'on suppose o 3?^ o, on peut trouver les coordonnées du point de concours des deux droites. En effet, les équations f^ = o,/y = o représentent alors deux droites concourantes; soient Xq, yo les coordonnées de leur point de rencontre et posons a7 = aro-f-X, y =yo-i-Y ; nous obtiendrons ainsi
mais/i.^= o,/^^ = o; d'autre part, fi, fi, f^ désignant les demi-dérivées de/, si dans l'identité d'Euler
f {x, y, z) = xfi-\- yfi-^ zf-i
on pose X = a^o, y = ^o» ^ = i , on obtient
/(^o/o) ^ DiFo-<- E70-+- F = o,
l54 CHAPITRE V.
car, en vertu des hypothèses A = o, o ^ o, l'équation y^ = 0 est une conséquence des équations/^ = o,y| = o; donc, en définitive, réquationy(a^.j') = 0 se réduite <p(X, Y) = 0 ou
\{x — XqY-\- iB{x — Xq) {y — j'q) ^ Ciy — y^y- = o\
le point de concours des deux droites a donc pour coordonnées précisément Xq etjKo-
Lorsque A = o, S = o, si l'un au moins des coefficients A ou G est différent de zéro, les droites représentées par l'équation y (a?, ^) = o sont à distance finie; en supposant par exemple K^o, les abscisses des points de rencontre avec l'axe des x sont les racines de l'équation A rr^ -H 2 D a? -h F =0, ce qui explique l'intervention du mineur AF — D^ dans la discussion. Remarquons encore que, ?,if{x^y,z) est un carré parfait, les dérivés y^, y"^, yi sont proportionnelles et, par suite, la droite double est représentée par l'une ou l'autre des équations y^= o,fy= o,yi = o; il est bon de remarquer que l'une de ces dérivées ou deux d'entre elles peuvent être identiquement nulles. Enfin, si l'on suppose A = o, G = o, B = o, l'équation proposée se réduit à zÇ-iDx-i- ^Ey -hFz) = o; elle représente deux droites dont l'une est à l'infini; et si en outre D = o, E = o, l'équation se réduit à F^^^ o et représente deux droites rejetées à l'infini.
205. Nombre des conditions nécessaires pour que l'équation de degré m représente ni droites.
1° Les m droites sont concourantes. — Soient Xo, y^ les coordonnées du point de concours ; si l'on pose a? = a^o -t- X, j^ = ^o + Y, l'équation
y(rro4-X,7o-t- 'k') = 0
devra être homogène en X et Y; en annulant les coefficients des termes de
, . . f • < m(in H- 1) ... •
degré mteneur a ni, on trouvera conditions. 01 Xq, y^ ne sont pas
données, deux de ces équations les détermineront et il ne restera plus que
conditions.
1° Les m droites sont parallèles. — Si la direction est donnée, on prend
l'axe des y parallèle à cette direction et dans l'équation transformée on
, , . . .1 m{ni-^i) annule tous les termes qui contiennent ^7; ce qui donne encore
conditions. Si la direction des droites n'est pas donnée, il faudra éliminer le paramètre qui détermine la direction du nouvel axe des y et il restera
conditions.
3" Les m droites sont quelconques. — Dans ce cas, en supposant qu'aucune d'elles ne passe par l'origine, il faudra identifier l'équation f{x, y) = o avec
FAISCEAUX DE DROITES. l55
la suivante
{UiCC-{- Vxy -i- i)(w2-2?-i- V2y-h i).- .{Um^ -^ ^ „, y + i) = o,
ce qui donne — ^^ conditions entre lesquelles on devra éliminer les olhi
inconnues Ui,Vi, ...,u,„,i>,„; le nombre des conditions cherchées est donc égal
, w(m-+-3) mini — i) a ■ — 2 m ou — ^ •
EXERCICES
i. Déterminer h de façon que l'équation
x^-h ay^-4- {a -h \) xy -+-(i — a)y -\- h = o représente deux droites.
2. Étant donnée l'équation d'un faisceau de n droites issues d'un point A, former l'équation du faisceau des perpendiculaires à ces droites menées par un point donné.
3. Etant donnée l'équation d'un faisceau de droites issues d'un point donné A, former l'équation du faisceau obtenu en faisant tourner chacune de ces droites, et dans le même sens, d'un angle donné a, autour du point A.
4. Former l'équation d'un faisceau régulier de n droites issues de l'origine des coordonnées.
5. Trouver l'angle de deux droites, connaissant l'équation du faisceau formé par ces deux droites, en coordonnées trilinéaires.
