Trouver la condition pour que l'équation
«0^*+ 4<^i^^y -^ Ga2X^y-->r- 4 03 xy^-\- a^y'* = o
représente un faisceau harmonique.
Montrer que cette condition est la suivante :
I CIq «1 «2 «1 «2 «3 «2 <^3 (^k
Vérifier si cette condition est suffisante.
7. Trouver la condition pour que deux des droites représentées par l'équation du quatrième degré précédente soient rectangulaires, ou fassent entre elles un angle de 45°.
8. Trouver la somme V des angles que font avec l'axe des x les droites du faisceau /(a^jj) =0, les axes étant rectangulaires.
En
posant/(i, i) = P -t- Qt, on a tangV = — ^
9. Résoudre le même problème en supposant le faisceau défini par l'équation tangentielle/(M, p) = o, les valeurs de , racines de l'équation étant
les coefficients angulaires des droites du faisceau.
— En posant /(i, i) = P'-l- Q% on a tangV = ^7»
206. L'équation du cercle de rayon R dont le centre a pour coordonnées Xq^ yo est
*(i) (x — xo)^-^ (y — yoy+ -i-ioc — xo) (y — yo) cosO — R2=:o,
0 désignant l'angle des axes coordonnés. Nous allons examiner quelques cas particuliers.
i" Les axes de coordonnées sont rectangulaires; l'équation du cercle est alors
(2) (cc-x,y'^(y-yoy--R^ = o.
2° Les axes sont deux diamètres rectangulaires du cercle donné; dans ce cas l'équation est réduite à la forme la plus simple
3° Le cercle donné est tangent à l'un des axes, par exemple à l'axe des y, en outre, les axes sont rectangulaires. Dans ce cas, K^ = a;l et, par suite, l'équation (2) se simplifie et devient
et, en outre,
4° Si, de plus, le cercle passe par l'origine, y(,=: o et l'équation se réduit à
X^-i- yi — 2 XXq = O.
5** De même, un cercle tangent à l'.axe des x a pour équation, les axes étant toujours supposés rectangulaires,
{x — a;oy-^y^—-2yyo=o; R = |jol-
6" L'équation d'un cercle passant par l'origine et tangent à l'axe des X est, les axes étant rectangulaires,
i^" Equation du cercle tangent aux deux axes, supposés rectangulaires. On a alors
l'équation cherchée est donc
•2^^-1-7-— 2îR^ — 2£'R7+ R2= o.
207. Conditions pour que l'équation du second degré f{x,y) = o représente un cercle.
Etant donnée l'équation
(1) Ax^-{-aBxy-i-Cy^-^-iDx'h'2.Ejr-\-F = o,
rapportée à deux axes d'angle 9, il s'agit de trouver quelles sont les conditions nécessaires et suffisantes pour que l'on puisse déterminer Xq, J'oj R» de manière que l'équation
(a; — a7o)2 4- (7— 7o;2-^- 2{x — X(,){y —70) cosO — R2 = o
ou, en développant,
x^-h -xxy cosO -1-7*— 2ar(a:o-t-7o cosO)
( — 2j(a-o cosO -+-70) -^x\ -\- ixoyo cosO -^-75 — R"^= o
soit identique à l'équation (i). Les coefficients de l'équation (i) devant être proportionnels aux coefficients des termes respectivement
l58 CHAPITRE VI.
semblables de l'équation (2), on voit d'abord que A doit être différent de zéro; cette condition étant supposée remplie, en multipliant par A tous les coefficients du poljnome (2), on doit obtenir identiquement le polynôme (i); donc on doit poser
(3) AcosO = B,
(5) A(^o + rocos0) =— D,
(6) A(a7o cosO ^-j-o) = — E,
(7) A(a72+2a7oJKoCOsO+j2 R2) = F.
Les deux équations (3) et (4) ne contenant pas les inconnues iCo> yo7 R^ expriment des conditions nécessaires ; examinons si ces conditions sont suffisantes. Le déterminant du système formé par les équations (5) et (6) étant égal à A-sin^Q est différent de zéro, puisque l'on suppose Ajz^o; on peut donc déterminer ^0 ct^o par
les formules
Ecose — D Dcose — E
^•^ ~ A2sin2 0 ' •^'' ~ A2sin2 0 *
En portant ces valeurs dans l'équation ('j), on obtiendra pour R^ une valeur réelle finie et bien déterminée; mais il faut en outre que cette valeur soit positive. Ecrivons les équations (5), (6), (7), en tenant compte des relations (3) et (4), de la manière suivante :
( 8 ) kxQ+ Byo + D = o,
(10) Aa72 4-2Ba^o7o+C72 F — AR2=o.
On peut remplacer la dernière équation par celle qu'on obtient en ajoutant ces trois équations membre à membre, après avoir multiplié les deux membres respectivement par jcq) ^0 et — i, ce qui donne
(11) D^o-I-Ej^o+F-hARî^o.
On devrait, pour obtenir R^, remplacer, dans l'équation (ii), Xa et yo par leurs valeurs tirées des équations (8) et (9). Cette opération revient à l'élimination de Xq^ jKo entre les équations (8), (9), (i i), et comme ces équations sont linéaires par rapport à Xq, jKoj o"
a, pour déterminer R-,
A B D lî G E D E F
