ixy cos6 -f-j2|- aDa; -f- lEy -j- F = o

si les axes sont obliques et que (Ojr, Oy) = 6; et si les axes sont

CERCLE. l6l

reclangulaîres

ar^ -{- y- -T- aD X -+- aEy -4- F = o.

Dans ce dernier cas, l'équalion précédente peut s'écrire (X -f- D)2+ (7 -+- E)«= D2+ E2 — F; par suite, les coordonnées du centre sont : — D, — E; en outre :

212. En résumé, pour que l'équation du second degréy(^', y) = 0 représente un cercle, il faut et il suffît que l'ensemble des termes du second degré soit identique, à un facteur près, au polynôme isotrope X'-i- 2J7y cosO 4-/K-. Nous poserons

'\'(^i y) S3 a?2-i- 2377 cosO -hj"^,

et l'équation d'un cercle pourra se mettre sous la forme canonique

suivante

iiix, 7) -t- aDa: -i- -f-Ey -h F = o,

D, E, F étant trois paramètres arbitraires; ou encore, ;ro, jKo étant les coordonnées du centre et R le rayon,

<\i{x — xo, y ~yo) — ^- = o.

213. Nombre de conditions nécessaires pour déterminer un cercle. — L'équation du cercle contient, comme nous venons de le voir, trois coefficients indéterminés D, E, F; il faut donc donner trois conditions pour déterminer un cercle. Si ces conditions se traduisent par des équations du premier degré, il y aura un seul cercle répondant à la question, ou bien il y en aura une infinité, à moins que le problème ne soit impossible.

On exprimera que le cercle passe par un point donné (x',y') en écrivant que l'équation du cercle est vérifiée pour ^ = x', y =jk'5 on obtient ainsi une équation du premier degré en D, E, F. Il en résulte que trois points déterminent, en général, un cercle ; nous allons discuter ce problème.

214. Equation du cercle passant par trois points donnés. — Exprimons que l'équation

(i) ({/(r, 7) -f-2Da7-t- 2E7-f-F = o

NiEWENOLOWSKI. — G. an., I. II

est vérifiée par les coordonnées (x,, j/-,), (^^2, ^^2)» {^s^Xs) des trois points donnés; nous obtiendrons ainsi, pour déterminer D, E, F. les trois équations linéaires

^i-h ^Da^i-i- aEj^i-t- F = o,

<\l2-\- 2D^2+ 2EJK2+ F = O, (l^S + 2 D 3^3 + 2 E 73 + F =: O,

ji

OÙ l'on a écrit J;, au lieu de di(x,,jKi), etc. Si les trois points donnés ne sont pas en ligne droite, le déterminant du système précédent est différent de zéro; s'il en est ainsi, on aura l'équation du cercle cherché en portant dans l'équation (i) les valeurs de D, E, F tirées des équations (2), (3), (4), ce qui revient à éliminer 2D, 2E, F entre les équations (i), (2), (3), (4); par conséquent l'équation du cercle passant par les trois points donnés est

Ce résultat est d'ailleurs évident a priori.

Î215. Condition pour que quatre points donnés soient sur un cercle. — Soient(a:4,^, ), (^^2, ^"2)1 (^sj^s), {^k-,yi) les coordonnées de quatre points A, B, C, D ; on écrira que ces quatre points sont sur un cercle en écrivant que les coordonnées de l'un d'eux vérifient l'équation du cercle passant par les trois autres, ce qui donne la

condition

4/1 xi yi I

On doit d'ailleurs supposer que l'un au moins des mineurs relatifs à la première colonne soit différent de zéro, et alors, si l'équation (6) est vérifiée, il en sera de même des autres mineurs relatifs à la même colonne, pourvu que les quatre points soient distincts, ainsi qu'on s'en assure aisément.

La relation (6) développée suivant les éléments de la première colonne

|)eul s écrire

ÔÂ*(BGD) — Ôb'(GDA) -hÔg\dAB) — Ôd\aBC) = o,

en désignant par (BGD), (CDA), (DAB), (ABC) les aires des triangles BCD, GDA, DAB, ABG, ces aires étant affectées de signes convenables, la lettre O désignant l'origine des coordonnées. En posant AB = a, BG = b, GD = c, DA = rf, AG = «, BD = P ; (BGD) = Si, (GDA) = S2, . . . et en plaçant l'origine successivement aux points A, B, G, D. on obtient les équations

— «282+ «2 S3 — û?2 S4 = o, a2Si +62S3— (>2S4=0,

u^-Sx — b-^Si — c2Si=o,

et par suite, en éliminant S|, Si, S3, S4, on obtient

rf2 (;2 cl o

«)u, en développant,

{ac — bd -\- uv){ac — bd — uv) (ac -h bd-\- uv) (ac -+- bd — uv) =^ o.

216. Cas particulier. — Supposons que l'on prenne pour axes deux des côtés du triangle ABG ; si l'on pose OA = a, OB = b, l'équation du cercle circonscrit au triangle OAB sera

372+ 2Cpy cosO -f-j2 — ax — by

0 étant l'angle AOB, l'axe des x étant la droite OA. Supposons que b tende vers zéro, le point B venant se confondre avec l'origine; l'équation