X--+- ixy co?,Q -\- y^ — aa; = o
représente le cercle passant par les points O et A et tangent à l'axe des j".
On a A = -et par suite R = — ; — xj ce qui est d'ailleurs évident.
i 2smO *
217. Autre forme de l'équation du cercle circonscrit à un triangle. — Rapportons le cercle à deux diamètres rectangulaires; son équation sera, en coordonnées homogènes,
Soient (a:i,^i ), (3^2, j2)> (^siJKs) les coordonnées des sommets du triangle
donné; nous ferons la substitution
car nous pouvons poser zi = Z2 = z^^ i. Il est visible que a, p, y sont les coordonnées barycentriques du point {x,.y), le triangle ABC étant pris pour triangle de référence. L'équation du cercle devient ainsi
(a^i+P^2-HT^3)^-4-(a7i^- Pr2+Yr3)2— R2(a + p + 7)2 = 0.
Comme ce cercle passe par le point {cci,yi), le coefficient de a^ est nul et de même ceux de ^^ et de y^ sont nuls. Calculons le coefficient de a^, savoir
L'identité
(a-, — ^2)-+ (ri —72)^=^1 +7! -^-^1 -+-7I — 2:ria-2— 2JKl72 = 2R2 — 2^1^72 2JKjJK2
montre que 2371^2+ 2jki JK2 — 2R2= c^, c désignant la longueur du côté AB. En appelant a, b les longueurs des deux autres côtés, on obtient ainsi
a72^^2 R2== (c2aj3-i- a^^Y 4- ftîya).
L'équation demandée est donc, en coordonnées barycentriques,
«2 pY 4- ^^ya -f- C^a^ =0,
et, par conséquent, en coordonnées normales,
a^^ + b^a.->r- ca^ =^ o ou ^ y sinA h- ya sinB -f- a^ sin C = o.
On obtient directement cette équation en remarquant que, si l'on nomme D, E, F les pieds des perpendiculaires abaissées sur les côtés du triangle ABC d'un point quelconque du cercle circonscrit, le triangle DEF est nul, puisque les trois points D, E, F sont en ligne droite.
Le module de la substitution précédente est égal au double 2 S de la surface du triangle ABC; le discriminant de x'^-^y^ — R^^ï est égal à — R^ et celui de — c^a^ — a^ py — ô-ya est égal à — ]- a^b'^c'^\ donc
ce qui donne la formule bien connue abc =4RS.
Intersection d'une droite et d'un cercle. 218. Soient
(2) ux -irvy-\- w = o
CERCLE. l65
les équations du cercle et de la droite. Les coordonnées des points communs sont les solutions du système précédent. Supposons, par exemple, v 9^ o; nous aurons l'équation aux abscisses des points d'intersection, en éliminant y entre les équations (1) et (2). On trouve ainsi
La condition de réalité est
(4) (i<2+t,2)R2 çp2->o.
A chaque racine réelle de l'équation (3) correspond une valeur réelle de jk fournie par l'équation (2); par conséquent, la droite coupera le cercle en deux points réels et distincts si l'inégalité (4) est vérifiée. Cette condition exprime que la distance du centre du cercle à la droite donnée doit être moindre que son rayon.
Pour que les deux points d'intersection soient confondus en un seul, c'est-à-dire pour que la droite soit tangente au cercle, il faut et il suffit que
Cette équation est ce que l'on nomme V équation tangentielle du cercle représenté par l'équation (i) en cooî^données ponctuelles.
11 résulte de là qu'il j a deux tangentes au cercle (1), parallèles à la direction définie par l'équation ux -{- vy = o. Ces tangentes sont représentées par l'équation
ux ■+- i'y 4- zK^u--\- v''- = o;
en remplaçant successivement s par dz i, on aura les équations des deux tangentes parallèles à la direction donnée.
Les coordonnées du point de contact de chaque tangente sont
Kii ^v
L'abscisse du point de contact est en efi'et égale à la demi-somme des racines de l'équation (3), puisque ces racines sont égales; ayant l'abscisse, on en déduit immédiatement la valeur de l'ordonnée. On voit que les points de contact de ces deux tangentes sont diamétralement opposés.
En particulier, les tangentes parallèles à la droite ayant pour équation jK = nix sont déterminées par l'équation
.Ks/\
219. Equation de la tangente au cercle, en un point donné. — Soient (:r,, jk,) les coordonnées d'un point A du cercle ayant pour équation
Fig. 64.
Soient .r, y les coordonnées d'un point quelconque P {fig- 64); les expressions .r, + \x^ j-, + \y^ i + \ sont les coordonnées homogènes d'un point M de la droite AP; ce point M sera sur le cercle
représenté par l'équation (i), si \ est l'une
des racines de l'équation
ou, en développant et remarquant que le terme constant est nul, puisque A(xi,j>',) est sur le cercle.
Cette équation a une racine nulle, à laquelle correspond le point A; la seconde racine coi'respond au second point d'intersection de la droite AP et du cercle; pour que ce second point se confonde avec le premier, il faut et il suffît que
xx^-^yyi — K'^
c'est-à-dire que la droite AP soit confondue avec la droite AT, représentée par l'équation précédente. Cette équation est donc celle de la tangente au point (.r,,jK)), pourvu qu'on suppose remplie la condition
■yi
Le rayon OA ayant pour équation xyi — yX\ = o, on vérifie que la tangente en A est perpendiculaire au rayon OA.
220. Mené?' à un cercle une tangente par un point donné. — Désignons par X, Y les coordonnées courantes et par Xi, yi les
coordonnées du poinl donné. Il s'agit de déterminer les coordonnées (or, y) d'un point M du cercle défini par l'équation
et tel que la tangente en ce point passe par A. La tangente en M ayant pour équation
les coordonnées (^, J") doivent vérifier les deux équations
(3) xxi-^yyi— K2 = o;
donc le point M est à l'intersection du cercle et de la droite que représentent les équations (2) et (3) quand on y regarde x el y comme des coordonnées courantes. Réciproquement, tout point commun au cercle et à la droite représentés par ces deux équations convient à la question. ïl y a donc deux tangentes passant par le point A; leurs points de contact sont à l'intersection du cercle donné et de la droite représentée par l'équation (3) et que l'on nomme la polaire du point A. Ces points sont réels si (218)
c'est-à-dire si le point donné est extérieur au cercle; les deux tangentes sont alors réelles. Si le point A est sur le cercle, elles se confondent en une seule, et enfin elles n'existent plus si le point A est intérieur au cercle.
On peut remplacer l'équation (3) par celle qu'on obtient en retranchant membre à membre les équations (2) et (3); ce qui donne
(4) x^--^y'^ — xxi—yyi — o.
Cette équation représente le cercle décrit sur OA comme diamètre; les points de contact cherchés sont à l'intersection de ce cercle et du cercle donné. On retrouve ainsi la construction donnée en Géométrie élémentaire.
Polaire d'un point par rapport à un cercle.
221. Définition. — On dit que deux points A, B sont conjugués harmoniques par rapport à un cercle quand ces deux points sont conjugués harmo-
l68 CHAPITRE VI.
niques par rapport aux points d'intersection de ce cercle et de la droite AB. On nomme polaire d'un point par rapport à un cercle le lieu des conjugués harmoniques de ce point par rapport au cercle donné.
Sur c'iaque droite menée par le point A, il y a un point M et un seul, qui soit conjugué de A, et si le point A n'est pas sur le cercle, le point M est distinct du point A. On prévoit ainsi que le lieu cherché est une droite. Si la sécante menée par A devient tangente, le conjugué de A se confond avec le point de contact; la polaire de A est donc la corde des contacts des tangentes issues de A. Enfin, si A est sur le cercle, on voit immédiatement que sa polaire se confond avec la tangente en A. Nous allons vérifier ces résultats par le calcul.
222. Equation de la polaire d'un point. — Soient {xi, y{) les coordonnées de A et (a;, y) celles d'un point M. Soit x^ -\- y^ — R2 = o l'équation du cercle donné, A chaque racine de l'équation
(5-1+ Xa7)2-H (jKi + Xjk)2— R2 (i -+- X)^ = o
correspond un point d'intersection du cercle et de la droite AM; pour que les deux points d'intersection soient conjugués par rapport à A et M, il faut et il suffit que les racines de l'équation précédente soient égales et de signes contraires; la polaire de A a donc pour équation
xxi->ryyi — R^ = o.
La condition pour que deux points {x^.y^), (^72, j'a) soient conjugués est
^i^2 + JKiJK2 — R^ = o.
223. Pôle d'une droite. — Etant donnée la droite représentée par l'équation
(i) ux -{- vy -\- w ^ o,
il s'agit de déterminer les coordonnées {xi,yi) d'un point ayant pour polaire cette droite, par rapport au cercle défini par l'équation
La polaire du point (^i,^i) ayant pour équation
(2) ara^i-t-jji— R2 = o,
on trouve, en identifiant les équations (i) et (2),
Xi yi R2
Xy= , j^j = . ..
Toute droite a donc un pôle; ce pôle est rejeté à l'infini dans la direction perpendiculaire à cette droite, si elle passe par le centre du cercle.
En particulier, le pôle de la droite (i), par rapport au cercle imaginaire défini par l'équation
x--+-y'^->ri = o,
a pour coordonnées homogènes les trois coefficients «, v, w de l'équation de la droite, c'est-à-dire précisément les coordonnées tangentielles de cette droite.
224. Positions relatives du pôle et de la polaire. — Si l'on prend pour axe des x le diamètre qui passe par le point A, les coordonnées de ce point étant {x\, o), sa polaire a pour équation xxi — R2=: o.
On voit ainsi que la polaire d'un point A, par rapport à un cercle de centre 0, est une perpendiculaire au diamètre OA. Si X\ varie de o à H- 00, l'abscisse x de la polaire décroît de -i-oo à o; si a?i = R on a aussi a? = R. Quand le point A est intérieur au cercle, sa polaire est extérieure, et, si le point A est extérieur, sa polaire rencontre le cercle en deux points réels.
223. Théorème fondamental. — Quand un point décrit une droite fixe D, sa polaire tourne autour du pôle P de la droite D, et réciproquement, si une droite tourne autour de P son pôle décrit la droite D, polaire du point P.
En effet, soient {xi, y^) les coordonnées de P; la droite D, polaire de P, a pour équation
xxi -hyyi — R2 = o.
Soient (x^, j'2) les coordonnées d'un point M de la droite D, de sorte que ^1^2-^71^2—^' = o.
Cette équation exprime que la polaire de M passe par P,
Réciproquement, soient x-i, y^ les coordonnées du pôle d'une droite A passant par P; A, ayant pour équation
r.r2-t-7j2— R^ = o, passe par P si
X\Xî-^ryiyi—^'^ = 0.
Ce qui exprime que le pôle {x^, y-i) de A est sur la polaire D du point P.
Remarque. — On peut remarquer qu'au fond ces deux propositions sont identiques. En effet, supposons établie la première partie et soit A une droite passant par P, le point P étant sur A, sa polaire passe par M, pôle de A, On peut d'ailleurs démontrer le théorème en s'appuyant sur cette remarque évidente : si deux points sont conjugués, la polaire de l'un passe par l'autre. Cela étant, M étant sur la polaire de P, ces deux points sont conjugués; donc la polaire de M passe par P.
226. Corollaires. — 1°' Le pôle de la droite AB est le point commun aux polaires des deux points A et B.
1° La polaire du point de rencontre de deux droites est la droite qui passe par les pôles de ces deux droites. En particulier, la corde des contacts des tangentes issues d'un point est la polaire de ce point.
227. Théorème de Salmon. — Étant donnés deux points et un cercle, les distances de chacun de ces points à la polaire de Vautre sont entre elles comme les distances de ces mêmes points au centre du cercle.
Soient A (a?!, j'i) et "Q^Xi^y^) deux points, les axes étant deux diamètres rectangulaires du cercle donné, dont le rayon est égal à R. Soient 81 Ja distance de A à la polaire de B ; 02 la distance de B à la polaire de A et enfin dx et 6?2 les distances de A et de B au centre du cercle. On a
Ia7ia72+7ijr2— R^l
ou
Pareillement,
diSi= I XiX2-^yij2 — R-\;
Problème. — Former l'équation du faisceau des tangentes à un cercle, menées par un point donné A. — Soient (xt, jki) les coordonnées du point A; si (^ty) sont les coordonnées d'un point M pris sur une tangente, issue du point A, au cercle de rajon R rapporté à deux diamètres rectangulaires, l'équation
(xi-hlxy+(yi-{-'kyy—R'-{i + iy==o
a ses racines égales, et réciproquement. Donc les coordonnées de M vérifient l'équation
qui représente le faisceau demandé.
229. Exprimer les coordonnées d\in point d'un cercle à l'aide d'un seul paramètre. — Soient Xq., jKo les coordonnées du centre C d'un cercle de rayon R; si «, v sont les paramètres principaux d'un rayon CM, les coordonnées de l'extrémité M sont
x= Xq-^ uR, y=zyQ-i-vR.
CERCLE. ITl
Si les axes sont rectangulaires, u = cos'^, r=:sincp, cp étant
l'angle que CM fait avec Ox; on a ainsi, pour les coordonnées
de M :
37 = a:'o-+- Rcoscp, ^ =^0+ Rsino.
230. Equation de la corde MM', les points M et M! ayant pour paramètres o et ç'. — Supposons que les axes soient deux diamètres rectangulaires du cercle donné. L'équation de MM' est
a?(Rcosc — Rcoscp') — ^(Rsino — Rsintp')-HR-(sin cp cosç' — cosco sin «>')= ">
ou, en simplifiant,
o -+- o' . o -t- (*' 9 — cd' X cos — h y sin ' R cos '— = o.
En posant œ'='^, on en déduit l'équation de la tangente au
point cp :
J7COSO -f- j/ sin© — R = o.
Ce résultat est évident a priori. Jl convient de remarquer que le point de contact de la tangente parallèle étant diamétralement opposé au point cp, le paramètre de ce point de contact est égal à ir + a, de sorte que l'équation de cette seconde tangente est
X coso -f-^sincp-}- R =o.
Lorsque les axes ne passent pas par le centre, l'équation de la tangente au point cp est
{x — Xq) coso -f- (y — yo) sino — R = o,
et la tangente parallèle a pour équation
(a- — a7o)coscpH-(7— 7o)sincp-f- R = o.
Pour trouver l'intersection de la droite
ux -\- vy -i- w = o avec le cercle
xi-i-yi— R2= o, il suffira de résoudre l'équation
R ( « cos (^ ^ V sino) -h w — o.
231. Problème. — Mener une tangente commune à deux cercles. — Pre-
172 CBAPITRE VI.
nons pour axes deux diamètres rectangulaires de l'un des deux cercles; l'un
de ces diamètres passant par le Fig. 65. centre de l'autre cercle. Soit
y (^^. 65) a l'abscisse du centre O'
nj, et soient R, R' les rayons des
deux cercles qui seront représentés par les équations
a;2 + j2 R2= o, {x — a)2 + jK^ — R'2 = o.
L'équation d'une tangente au premier cercle peut se mettre sous la forme
(i) a? costp -f- j^ sin'^ — R = o;
l'équation d'une tangente au second sera de même
{•?.) (x — a) coscp'H-jK sincp' — R' = o.
En identifiant ces deux équations, on trouve
costp sin<y
coscp' sincp' R' -f- a cos (f'
Les deux premiers rapports donnent tangcp'= tangcp, de sorte que cp'=çp-t-Â-Tr, /{ désignant un entier.
Par suite, suivant que l'on donne à k des valeurs paires ou impaires, on peut poser ç' = ç ou 0'=: o + ti.
Premier cas. cp'= o. — Les équations (3) se réduisent à une seule, qui
donne
cosc? = • •
Nous pouvons toujours supposer tz > o et R^R'; pour que la valeur attribuée à coscp soit acceptable, il est nécessaire et suffisant que R — R' soit ^a; c'est-à-dire que les cercles ne soient pas intérieurs l'un à l'autre. On retrouve ainsi la solution donnée en Géométrie élémentaire, car si de O comme centre avec R — R' comme rayon, on décrit un cercle et que l'on mène à ce cercle
une tangente O'A par le point O', l'angle AOO' aura pour cosinus — et,
par suite, on pourra prendre cp = AOO' ou cp = 2tt — AOO'.
Il n'y a plus qu'à mener les tangentes au cercle O qui correspondent à ces angles. Les tangentes communes auront pour équations
X {K — ?,!) ± y )/ a"^— {K — K' f — aK = o,
on voit que ces tangentes sont des tangentes extérieures, les centres O et O' étant du même côté par rapport à chacune d'elles ; elles coupent l'axe des x
en un même point b ayant pour abscisse -i- ^-, •
Deuxième cas. ç'= o -+- tt. — Les équations (3) donnent
coso = — j
et l'on doit avoir a ^ R -i- R'.
On décrira, de O comme centre avec R cercle auquel on mènera une tangente par le point O'; l'angle <p sera égal à AOO' ou à 2ir — AOO'. On retrouve encore la solution élémentaire. Le problème n'est possible que si les deux cercles sont extérieurs ou tangents extérieurement. L'équation des tangentes communes de cette seconde espèce est
R' pour rayon ifig. 66), un Fig. 66.
x(R+ R')±jv/«^ — (R + R')2— «R = o.
Si l'on remplace a; et ^ par zéro dans le premier membre, on trouve
pour résultat : — aR; si, au contraire, on pose x = a, y ^= o, on obtient -f-«R'; donc chacune des tangentes passe entre O et O'; on a obtenu dans ce cas des tangentes intérieures. Ces tangentes coupent la ligne des centres
en un même point S ayant pour abscisse r: —.»
232. Centre de similitude de deux cercles. — Considérons deux cercles rapportés à deux axes quelconques, et soient «, b et a' , b' les coordonnées de leurs
centres C, C; R et R' étant leurs Fig. 67.
rayons. Menons deux rayons parallèles et de même sens; si ^^, V sont les paramètres directeurs principaux de la directrice commune, les coordonnées de l'extrémité des deux rayons
seront, pour le point M {fig. 67), Xx=^a-\- mR, y^z= b -{• pR, et, pour le point M', .ro^ «'+ mR', y2=^ b' -\- vW .
La droite MM' a donc pour équation
-h ab'— ba'-h u{b'R — bR') -f- (^(aR'— a'R) = o,
ce qu'on peut écrire ainsi :
x{b — b') — y{a — a')-^ab' — ba'
— u[y{R — R!) — {b' R — bR')] + v{x{R ~ R') - {a' R — aR' )] = o.
On voit immédiatement que la droite MM' passe parle point ayant pour coordonnées
g'R — gR' b'R — b R'
et que l'on nomme le centre de similitude directe des deux cercles donnés.
, Si l'on considère les rayons CM et CM" parallèles et de sens contraires, il faut, pour avoir l'équation de MM", remplacer dans les coordonnées de M', u et v par — u et — v, ce qui revient à changer IV en — R', de sorte que l'on peut affirmer, sans faire de nouveaux calculs, que la droite MM" passe par un point fixe ayant pour coordonnées
a'R4-aR' b'R-^bR!
^ ~ R-^IV" ' ^ ~ R-t-R' '
ce second point est le centre de similitude inverse.
233. Théorème. — Les centres de similitude directe de trois cercles pris deux à deux sont en ligne droite; de même, deux centres inverses et un centre direct convenablement associés sont en ligne droite, de sorte que les six centres sont disposés sur quatre droites.
LeS' coordonnées du centre direct des deux cercles que nous avons considérés plus haut peuvent s'écrire sous la forme
ÏV
on peut donc dire que les coordonnées homogènes de ce centre sont
Soient C, G', G" trois cercles dont les centres ont pour coordonnées (a. b), {a',b')^ (a^b"), et soient R, R', R" leurs rayons. Appelons S, S', S" les centres de similitude directe, et T, T', T" les centres inverses respectifs des couples (G', G"), (G", G), (G, G'); je dis que les points S, S', S" sont en ligne droite. En effet, le déterminant
R' rr R' ■ R" R' R"
W " R ÏV' ~ R iV" ~ R
est évidemment nul, puisque la somme des éléments appartenant à chaque colonne est nulle.
Si l'on change R en — R, le déterminant est encore égal à zéro, ce qui prouve que les centres inverses T' et T" et le centre direct S sont en ligne droite.
Proposons-nous de former l'équation de la droite S S' S".
Pour cela, remarquons que la droite S'S" a pour équation
a' a iT ~" R
Or ce déterminant peut être remplacé par le suivant
Il en résulte que l'équation de chacun des quatre axes de similitude est comprise dans la formule
eR
e, e', s' désignant l'unité positive ou négative. En prenant s = e'= i", on aura l'axe de similitude directe.
234. Considérons maintenant un cercle rapporté à deux axes quelconques, et soit
f{x, y, ^)es ip2| 2,xy cosO -hy--+- 'i.%xz -\- 2 ^yz 4- y^- = o son équation. On a
On en déduit, en raisonnant comme on l'a fait dans le cas où les axes coordonnés sont deux diamètres rectangulaires, les résultats suivants :
1° L'équation de la tangente au point Xi, jki, ^1, situé sur le cercle, est
2° L'équation de la polaire d'un point quelconque a?i, jki, ^1 est
Cette équation peut s'écrire aussi
On en conclut que la polaire de l'origine des coordonnées a pour équation
3° Enfin, l'équation du faisceau des tangentes issues d'un point (xi, yi, Zy) est
4/(^, y, z)f{xi,yi, Si) — i^fl;+yfy, + ^fz, Y = o.
23o. Puissance d'un point par rapport à un cercle. — Soient ^,, jK) les coordonnées d'un point P. Menons par P une sécante dont la direction est définie par les paramètres principaux «, 6, les axes étant quelconques. Considérons un cercle représenté par l'équation
■ /(•^, J') = A4/(a7, x) + 2aa:-K2P7-f-Y = o-
Les coordonnées d'un point commun à la sécante considérée et au cercle seront x =^ X\-{- ap, y =jKi + ^p> pourvu que p soit égal à l'une des racines de l'équation
/(a^i-Hap, ji4- 6p) = 0,
c'est-à-dire
A ^{a, b)p^-h...-i-f(xi, 7i) = o.
Si l'on remarque que '^{a, b)=^i, on voit que le produit des ra-
cines est égal à
Ce produit est indépendant de la direction de la sécante; on peut donc énoncer le théorème suivant :
Etant donnés un cercle G et un point P dans son plan, le produit des distances de ce point aux points d' intersection du cercle et d'une sécante quelconque menée par le point P est constant, quelle que soit la direction de la sécante.
Ce produit se nomme la puissance du point P par rapport au cercle C, et son expression s'obtient en substituant aux coordonnées courantes les coordonnées de P dans le premier membre de l'équation de C et divisant le résultat obtenu par le coefficient de x-.
11 convient de remarquer que le calcul précédent s'applique à une sécanle imaginaire, pourvu toutefois que cette sécante ne soit pas isotrope. Si (a, b) sont les paramètres d'une sécante isotrope, on a, en eiïet, <]^(a, b) — o; on ne peut donc pas supposer le point directeur à l'unité de distance de l'origine. Mais si l'on pose x — X\-^ aç), y — yx-^- h^ et que l'un au moins des nombres a et 6 soit différent de zéro, le point (r, /) ne peut être à l'infini que si p est infini. Cela étant, dans le cas d'une droite isotrope, l'une des racines de l'équation en p que nous avons formée est infinie et l'autre aura une valeur finie si le point P ne coïncide pas avec le centre du cercle ; par suite, si M, M' sont les points d'intersection de la sécante isotrope considérée et du cercle, l'un des facteurs PM, par exemple, est nul et l'autre est infini.
Remarquons encore que, dans le cas d'un cercle, tj ^aAsin^G; donc, la puissance du point (a-i,^i) par rapport au cercle ayant pour équation f{^i y) '= ^ ^ pour expression algébrique
Nous avons trouvé
f{x, j ) s A [^/(x - a-0, r - Jo) - R^J,
</ étant la distance du point P au centre (jto? JKo) du cercle. La puissance d'un point P situé à une distance d du centre d'un cercle de rayon R a donc pour expression d'^ — R^.
Donc la puissance de P est positive, nulle ou négative suivant que
NiEWENGLOWSKI. — G. ail., I. H
P est extérieur au cercle, sur sa circonférence, ou intérieur; et réciproquement.
Intersection de deux cercles.
236. Soient C = o, C'=:o les équations de deux cercles, mises sous la forme canonique, c'est-à-dire les coefficients de x- et dejK" étant égaux à l'unité.
Nous aurons les coordonnées des points communs à ces deux cercles en résolvant le système C = o, C'= o, ou le système équivalent C = o,G — C':=o.
Or la dernière équation, étant du premier degré, représente une droite. On est ainsi ramené à trouver l'intersection d'une droite et d'un cercle; par conséquent, deux cercles donnés se coupent en deux points. La droite que nous venons de trouver se nomme Vaxe radical des deux cercles. Comme G et C sont les puissances du point {x,y) par rapport aux deux cercles, on voit que l'axe radical peut être défini comme étant le lieu des points ayant même puissance par rapport à ces deux cercles.
237. Points cycliques. — Rendons les équations des cercles donnés homogènes :
G ss a:2+ ixy cos6 -\-y-+ laxz -\- ibyz -+- cz^ = o, Ces a:-2| r^xy cos6 -+-JK-+ la'xz -t- ib' yz -\- c'z^^= o.
En retranchant membre à membre, on obtient
C — C ^^ z\%{a — a')x -r- "i-ib — b')y -\- {c — c')3] = o.
Donc aux solutions déjà trouvées et correspondant à 5 = i, il convient d'ajouter les solutions du système
-3 = 0, a;2-i- 2.r/ cosO + 7- = o.
On obtient ainsi deux points imaginaires conjugués que l'on désigne souvent pour abréger par les lettres I et J et qu'on nomme les ombilics du plan, ou encore les points cycliques. En supposant les axes rectangulaires, on peut dire que les coordonnées homogènes des points I et J sont
Tout cercle du plan passe par ces deux points, qui sont indépendants des
axes de coordonnées comme les droites isotropes elles-mêmes. On voit, en effet, que les coordonnées de ces points vérifient l'équation d'un cercle quelconque. Réciproquement, une courbe du second degré qui passe par les deux points est un cercle. En effet, supposons les axes rectangulaires; en exprimant que l'équation du second degré est vérifiée pour x = \, y — i, 5 = o, et pour or — i, y =^ — i, j = o, on trouve
A-4-2Bt — C = o, A — aBi — C = o;
ce qui donne B = o, A = C.
La tangente à un cercle quelconque au point I a pour équation
a7-f-f/-4-DH-Et = o;
c'est la droite isotrope qui passe par le centre du cercle et le point I; résultat analogue pour le point J. Il en résulte que deux cercles concentriques sont tangents en I et en J ; on peut également dire que deux cercles quelconques se coupent à angle droit en ces mêmes points.
Les coordonnées trilinéaires normales des points I et J sont
ot = coscp -j- i siniy, p = costj/ -f- t sin»]/, y = cosO -}- t sinO, a'=coso — isinifi, P'=cos«{^ — tsint|/, y'= cosO — tsinO,
a — e'?, p = ei^, 7 = e'9 et a' = e-'?, ^' = e-'']>, y' = ^~'^ de sorte que
Discussion de l'intersection de deux cercles.
238. Rapportons l'un des cercles à deux diamètres rectangulaires, l'axe des x passant par le centre du second cercle; les équations de ces cercles sont
a désignant la distance des centres ; nous supposerons « > o, R ^ R'. L'axe radical de ces deux cercles a pour équation
ce qui montre que l'axe radical est perpendiculaire à la ligne des centres.
l8o CHAPITRE VI.
Pour que cette droite coupe le premier cercle en des points réels, il faut et il suffît que l'on ail
OU
(R-^R'— rt)(R — R'— a)^o, c'est-à-dire
Si a = R — R' OU a = R + R' les deu\ cercles sont tangents.
239. Théorème. — Les axes radicaux de trois cercles pris deux à deux ont un point commun, quon nomme le centre radical de ces trois cercles.
En effet, soient, sous la forme canonique, C = o, C':^o, C"=o les équations de trois cercles. Les axes radicaux de ces cercles, considérés deux à deux, ont pour équations
Ces trois droites se coupent évidemment au point défini par les équations C = C'=C", et qui a même puissance par rapport aux trois cercles donnés.
240. Problème. Trouver V équation générale des cercles passant par les points communs à deux cercles donnés. — Soient C = o, C'= o les équations des deux cercles donnés. L'équation
(i) aG -h a'G' = o,
dans laquelle a et a' sont deux constantes arbitraires, représente une infinité de cercles passant par les points communs aux deux cercles. Je dis qu'elle peut représenter tout cercle passant par ces deux points. En effet, soit C" un tel cercle; prenons sur ce cercle un point (■^•^, j-j) différent des deux premiers; en désignant par C, et G'^ ce que deviennent C et C quand on y remplace les coordonnées courantes par .ri,y<, on peut déterminer a et a' de façon que le cercle représenté par l'équation G"= o j^asse parle point (^i,j-,); il faut pour cela que aG| + a'Gj ^= o, et, par suite, il suffit de prendre a = Gj, a'= — Gi ; de sorte que l'équation
GG'i-G'Gi=o
CERCLE. loi
représente un cercle ayant avec C" trois points communs et, par suite, confondu avec C".
241. Équation générale des cercles passant par les points d intersection d\in cercle C et d' une droite D. — Ou peut énoncer autrement le problème : il s'agit de former l'équation générale des cercles ayant avec le cercle donné C, pour axe radical, la droite donnée D.
Soient C = o et ÇJ r=. o les équations, sous forme canonique, du cercle donné et de l'un des cercles cherchés. L'équation de l'axe radical de ces deux cercles est C — C ^ o. Cette droite devant coïncider avec la droite définie par l'équation D = o, on doit avoir, X étant
une constante,
C'C = XD,
et, par suite,
L'équation demandée est donc de la forme
aG-T-i3D = o,
a et [3 étant deux constantes arbitraires.
Réciproquement, l'équation précédente représente bien un cercle ayant avec le cercle donné pour axe radical la droite donnée. On a donc trouvé l'équation générale demandée.
Remarque. — Cette solution permet de résoudre le problème précédent, car si un cercle passe par les points communs aux. cercles C = o, C'= o, il a avec l'un d'eux pour axe radical la droite représentée par C — G'= o; donc l'équation demandée est G -{- X(G — G') = o. Cette équation est bien de la forme aC + a'G'= o.
242. AppLicATioiv. Equation générale des cercles tangents à un cercle donné. — Soient C = o l'équation d'un cercle et T = o l'équation d'une tangente à ce cercle ; le cercle cherché et le cercle C ont pour axe radical une tangente au cercle C; donc l'équation générale demandée est
Ch-XT =o.
Par exemple, les axes étant rectangulaires,
{x — ay-h{y — 6)*— R2-!- X (a?,— a coso -h y — b sino — R) = o,
l82 CHAPITRE VI.
dans laquelle co désigne un angle arbitraire, représente tous les cercles tangents au cercle ayant pour équation
{x — ay -\- (y — by-— R^ = o.
On peut encore remarquer que l'équation
(£) {x — XoY-^ (y —yoy--^'^^[y — yo— 'n(x — Xo)] = o
est l'équation générale des cercles tangents au point {xq, jko) à la droite représentée par l'équation
y — yo—m(x — xo) = o;
car cette droite est l'axe radical du cercle de rayon nul ayant pour centre Xq, yo et de tout cercle représenté par l'équation (i).
Cercles orthogonaux.
243. Pour que deux cercles se coupent à angle droit en deux points réels, il faut que les rayons partant de l'un quelconque des deux points communs à ces cercles soient rectangulaires et, par suite, d, R, R' désignant la distance des centres et les rayons, on doit avoir d^ = R^-i- R'2.
Réciproquement, si cette condition est vérifiée, on peut former un triangle rectangle ayant deux sommets confondus avec les centres, les côtés de l'angle droit étant égaux aux rayons, d'où il résulte évidemment que les deux cercles se coupent en des points réels et à angle droit.
On peut obtenir la condition précédente par le calcul. Soient en effet, les axes étant rectangulaires,
(i) {x-xoy + iy-yoY—^^ ^o,
(•^) {x-Xiy-^iy-yiy-K^=^o
les équations de deux cercles, et soient x, y les coordonnées de l'un de leurs points communs. Les tangentes en ces points ont pour équations, respectivement,
(X-x){x-Xo)^iY-y)(y-yo)-lV^ = o,
(X-x)(x-xô-^{Y-y)(y-yi)-l\'^-^o.
La condition pour que ces droites se coupent à angle droit est
(3) (x — xo) {x — xi) -{- (y —yo) (y — yi) = o.
Les coordonnées (x, y) d'un point commun à ces deux cercles doivent donc vérifier les relations (i), (2), (3). En multipliant le premier membre de l'équation (3) par — 2, et ajoutant aux deux premières, membre à membre, on
obtient la condition
( ^0 - ^-i )- + (jo - 7i )' = R2 -+- R'-^
Cela étant, considérons les équations de deux cercles rapportés à deux axes qualconques
cp^-h -ixy cosb -i-y--^ -j.ax -^ i^y -t- y = o, ar2-i- ixy cos8 -f-/^-+- -iol'x -+- 2.^'y 4- y'= o,
et proposons-nous d'exprimer que ces deux cercles sont orthogonaux. La condition trouvée plus haut peut s'écrire ainsi
lïllle exprime donc que la somme des puissances du centre du premier cercle, par exemple, par rapport aux deux cercles, est nulle, car la puissance de ce centre par rapport au premier cercle est égale à d^ — R'^* et, par rapport au second, à — R^.
Si nous désignons para? étales coordonnées du centre du premier cercle nous devons écrire, par suite, la condition
(4) •ix--+- .\ccf cosd -+■ 'iy--^ v,(a -+- a') a? -+- ^(^ -+- 3') jk -4- Y ~^ t' = "• Mais les coordonnées x, y sont définies par les équations
(5) X -]- y cosO ■+■ oL — o,
(6) a? COsO +JK H- P = o.
On aura la condition cherchée en éliminant x et y entre ces trois équations. Or on peut remplacer l'équation (4) parl'équation obtenue en retranchant du premier membre de cette équation les premiers membres des équations (5) et (6) multipliés respectivement par — ix et — 2y, ce qui donne cette nouvelle équation, linéaire comme les deux précédentes,
En éliminant x et y entre les équations (5), (6), (7), nous obtenons la condition suivante :
I cosO a cosO 1 p
et, si les axes sont rectangulaires, cette équation se simplifie et devient
2(ûta'+p;3') = Y + Y'-
Supposons maintenant les équations des deux cercles données sous forme
A {x^-h 2ay cos6 -^ y^) -Jr- 2D X -h lE y -h F =0,
A'{x^-¥--ixycos% -hy^) -+■ 2 D'à: -h %E'y -+■ F'= o,
il faudra poser
Si les axes sont rectangulaires, la condition prendra la forme suivante : (8) 2(DD'4-EE') = AF'+A'F
et, dans le cas général,
1 cosO D
cos6 I E
