D' 2E' AF'4-FA

La condition trouvée est linéaire et homogène par rapport aux coefficients des équations de chacun des deux cercles. Réciproquement, si les coefficients A, D, E, F de l'équation d'un cercle variable sont liés linéairement par une équation de la forme

(10) x\X -i- 2D[j. 4- aEv H- Fp = o,

le cercle représenté par l'équation

A (372 -i- 207/ cos6 -\-y^)-i- iBx -h 2E/ -t- F = o

est orthogonal à un cercle fixe.

Supposons les axes rectangulaires et identifions l'équation (10) avec l'équation (9), ce qui donne

et, par suite, le cercle représenté par l'équation

A (x--{- y-) -T- 2Dx -h 0. Ey -4- F = o est orthogonal au cercle représenté par l'équation

p{x^-{-y^) — T-IXX 2V/ -f- À = O.

On voit que le coefficient p doit être différent de zéro. Si l'on suppose p = o, la relation (10) exprime que le centre du cercle décrit une droite. On peut dire que le cercle orthogonal a dégénéré en ligne droite. Si les axes sont obliques, la relation (9) peut s'écrire

2D(E'cose-D')-i-2E(D'cosO— E') -4- (AF'-t- A'F) sin^G = o;

pour déterminer A', D', E', F', on devra résoudre les équations

F' sin26 E' cosG — D' D' cosô — E' A' sin^O

X |JL V p

Pour résoudre ce système, on peut poser A'= p, F' = X ; il en résulte D' cosO — E' = V sinïO, E' cosO — D' = [ji sin^O, d'où l'on lire

D' = — (;ji + vcosO), E' = — (v -4-;jicose), et, par suite, le cercle fixe orthogonal au cercle considéré a pour équation p(x--h 'i.xy cosO -¥ y"^) — •2(,a -+■ v cosO)ar — 2(v -\- \x cosJ9)^ -)- X = o.

244. Problème. — Trouver le lieu des centres des cercles qui coupent à angle droit deux cercles donnés.

Soient, les axes étant rectangulaires,

x--h y^-{- iHx -+- 'i^y -f- F = o, 2:2 -f- ^2 -f. 2 D'à? -+- aE'^-f- F'^ o

les équations des deux cercles donnés. Pour que le cercle

x^-\- y'i — -xixx — 1 '^y 4- Y = o

coupe à angle droit les deux premiers, il faut et il suffit que

2Da-t-2E|3-+-F + Y = o, aD'a -i- sE'p -i- F'+ v = o.

En retranchant les deux équations membre à membre, on obtient

ce qui démontre que le lieu demandé est l'axe radical des deux cercles donnés, car a, p sont les coordonnées du centre du cercle variable considéré.

D'ailleurs, on voit géométriquement que tout point M de l'axe radical de deux cercles est le centre d'un cercle orthogonal à ces deux cercles. En effet, les puissances du point M par rapport aux deux cercles sont égales; si l'on suppose M extérieur aux deux cercles, les tangentes MT, MT', menées de M à ces deux cercles, sont égales, et le cercle ayant pour centre M et pour rayon MT les coupe à angle droit.

243. Problème. — Trouver l'équation du cercle orthogonal à trois cercles donnés.

Soient

x--+-y^-h iDx -haEy -{-F — o,

a:2^ j2| fD'x -i- lE'y-h F' = o, :p2 -H j2 , 9, D" 3- -+- 2 E'^ -H F" = o

les équations de trois cercles rapportés à deux axes rectangulaires, et soit

(i) x^-+-y^-\- ixx -i- 2^y ^^( = o

l'équation d'un quatrième cercle. Il s'agit de déterminer oc, p, y par les conditions

2Da -f-2Ep —Y — F =o, 2 D'à +2E'p — Y — F' = o, 2D«'a + 2E"p — Y — r"=o.

Ces équations ont une solution, pourvu que le déterminant du système ne soit pas nul, c'est-à-dire pourvu que les centres des cercles donnés ne soient pas en ligne droite. Cela étant admis, il faudra porter dans l'équation (i) les expressions de a, p, y tirées des équations (2), (3), (4); on en conclut que l'équation du cercle cherché est

On peut transformer cette équation. Ajoutons la première ligne du déterminant aux suivantes, ce qui donne

cc^-^y'—F B -h X E -1-7 x--T-y^ — F' D' -+- a? E' -HjK

Enfin, en ajoutant aux éléments de la première colonne ceux de la deuxième multipliés par —x, et ceux de la troisième multipliés par — y, on obtient l'équation

D -f-;r E +j D^-hEj+F

D'-i-a7 E'+j D'à? -h E'jK -H F'

que l'on peut écrire sous la forme suivante :

C, C, G" désignant les premiers membres des équations des trois cercles donnés.

On désigne le cercle trouvé sous le nom de cercle orthotomique des trois cercles donnés.

ày

dC"

ày

24G. Propriétés du cercle ortliotoinique. — 1° Le centre du cercle orlhotomique est le centre radical des cercles donnés. Cela résulte immédiatement de la proposition établie au n" 243.

9," Le lieu des points tels que leurs polaires par rapport à trois cercles soient concourantes est le cercle ortliotoniique relatif à ces trois cercles.

En effet, soient x, y, z les coordonnées d'un point; les polaires de ce point ont pour équations

OX oy oz

^dC ^dC ^^dC ox oy oz

xf + Yf ^z^s:

ox dy dz

donc la condition pour que ces droites soient concourantes est précisément l'équation (5). Il en résulte que cette équation représente encore le cercle orthotomique quand les axes sont obliques.

Le point de concours des polaires est sur le cercle orthotomique. En effet, les équations de ces polaires peuvent se mettre sous la forme

dÙ âC àC

àC dC àC

dC dC" OC"

et, si X, Y, Z sont les coordonnées de leur point de concours, les équations précédentes étant vérifiées par des valeurs x, y, z non toutes nulles, il en résulte que l'équation du cercle orthotomique est vérifiée quand on remplace X, y, z par X, Y, Z.

Soient M un point du cercle orthotomique, M' le point de concours des polaires de M par rapport aux cercles donnés, je dis que M et M' sont diamétralement opposés. En effet, rapportons le cercle orthotomique à deux diamètres rectangulaires, et soit

son équation. Les équations des trois cercles donnés, rapportés aux mêmes axes, seront

x^-Jry^^iHx -^ xEy -f-p2=o,

x^-^y'^^xD'x -r-iYJy ~ ç)^z= o,

ar2 -+- ^2 | 2 D'à? H- 2 E"^ 4- p2 = o,

puisque la condition d'orthogonalité se réduit à F — p2 = o par rapport au premier cercle, par exemple. Gela étant, si x^, y^ sont les coordonnées du

l88 CHAPITRE VI.

point M, sa polaire, représentée par

passe par le point — Tq, — jKo-

On voit en même temps que le centre du cercle orthotomique est le centre radical des trois cercles, et que le carré de son rayon est égal à la puissance du centre radical par rapport à ces cercles.

Ces résultats sont faciles à obtenir géométriquement. En effet, le centre d'un cercle orthogonal à trois cercles donnés est évidemment le' centre radical de ces trois cercles, et le carré de son rayon est égal à la puissance du centre radical et réciproquement. Ensuite, on a vu que si deux cercles sont orthogonaux, tout diamètre de l'un d'eux est partagé harmoniquement par l'autre (140); donc deux points M, M' diamétralement opposés, du cercle orthotomique, sont conjugués par rapport à chacun des cercles donnés; les polaires de M passent donc par M'. Réciproquement, si l'on suppose que deux points M, M' soient conjugués par rapport à trois cercles G, G', G", 0 étant le milieu de MM', les puissances de O par rapport aux trois cercles seront égales à OM^; on en conclut que O est le centre radical, et que les points M et M' sont sur un cercle fixe, orthogonal aux trois cercles donnés.

24f7, Problème. — Déterminer deux familles de cercles orthogonaux. — Il s'agit de déterminer deux familles de cercles tels que deux cercles quelconques appartenant à la première et à la seconde famille soient orthogonaux. Soient G, G' deux cercles de la première famille; tout cercle de la seconde famille devant couper à angle droit les cercles G et G', on en conclut que les centres des cercles de la seconde famille sont sur l'axe radical des cercles G et G'. Gela étant, si G" est un troisième cercle de la première famille, les centres des cercles de la seconde famille devant être aussi sur l'axe radical de G et G", il en résulte que deux cercles quelconques de la première famille ont pour axe radical une droite déterminée, et il en est de même des cercles de la seconde famille; par suite, les centres des cercles des deux familles sont disposés sur deux droites rectangulaires.

Gela étant, nous prendrons deux axes rectangulaires et nous formerons d'abord une première famille de cercles ayant leurs centres sur Oa^, et tels que deux quelconques de ces cercles aient pour axe radical l'axe des y.

Soit

a;2 j j^2 j -i^ax -H X = o

l'équation d'un cercle ayant son centre sur Ox. La puissance de l'origine par rapport à chacun des cercles d'une famille doit être la même; on en conclut que X doit avoir une valeur constante. Supposons, pour fixer les idées, X = /i2, h étant une constante réelle; l'équation

^2 ^ J.2 | 2 aa? H- /i2 = y^ dans laquelle a est un paramètre variable, représentera la première famille.

L'équation générale des cercles de la seconde famille sera de la forme

x^ -i- y- -i- 1 by -H /. = o ;

la condition d'orthogonalité se réduit à X: = — /i^; donc la seconde famille est définie par l'équation

x'^-\- y--r- 9, by — A- = o,

dans laquelle b est un paramètre variable. On voit que ces cercles sont toujours réels et coupent l'axe des x en deux points réels, ayant pour coordonnées X =^± h, y ^o. Soient a> et u>' ces deux points.

L'équation d'un cercle de la première famille peut se mettre sous la forme

Pour que ce cercle soit réel, il faut et il suffit que a^ — h^ soit positif. Lorsque a = h, le cercle se réduit à un point x = — a, j' = o : c'est le point w ; pour a = — A on obtient l'autre point. La puissance de l'origine étant égale à -t- A*, et celle du point 10, par exemple, égale à ih{a -\- h), on voit que si le centre du cercle a une abscisse positive, on aura a -t- A < o si ce cercle est réel; donc le point w sera à l'intérieur du cercle considéré. Ces points to et 10' se nomment les points limites de la première famille. Si l'on avait posé X = — A^, ces résultats auraient été renversés.

La polaire de l'un des points limites par rapport à l'un quelconque des cercles de la première famille passe par l'autre point limite et est perpendiculaire à la ligne qui les joint.

En effet, la polaire du point (A, o) par rapport au cercle

a pour équation

248. Définition de l'angle de deux cercles. — Considérons deux cercles {fig. 68) se coupant au point A, décrivons chacun de ces cercles dans le même sens et menons les demi-droites AT, AT', dirigées suivant la tangente et dans le sens de la ^'?" ^°-

vitesse du mobile décrivant chaque cercle; l'angle ^^

ainsi obtenu est égal à l'angle CAC. Si nous désignons cet angle par V, on aura

d^ = r^ -+- r'2 — 2 /•/•' cos V.

On peut conserver cette formule dans tous les cas en donnant des signes à r et à /'.

Si l'on décrit les cercles dans des sens contraires, on regardera r et /•' comme ayant des signes contraires, et V désignera, dans ce cas, le supplément du premier angle que nous avons considéré.

igo

24!9. Problème. — Trouver le lieu des centres des cercles qui coupent trois cercles donnés sous un même angle.

Soient

x'^-Jr y^ — 2aa7 — -iby + a-+ 6^ — /-^ =: o

x''--¥- y^ — 1V.X — ajBj' h- a^ + ^^ — p2 = o

les équations de deux cercles; cp étant l'angle de ces deux cercles, on a

{a — a)2-4- (6 — p)-= /--H- p2 — ?.rp coscp.

En posant a--\- b''- — /-^ = c, a-+ p^ — p2= y et p cos<p = X, on peut écrire

On aura de même pour deux autres cercles

L'équation des cercles coupant sous l'angle o les trois cercles donnés est donc de la forme

équation de la forme