C-h2XD

C — o étant l'équation du cercle orthotomique des trois cercles donnés, et D = 0 l'équation de l'un des axes de similitude.

Le lieu cherché est donc la perpendiculaire à cet axe menée par le centre radical des cercles donnés.

Inversion.

250. Soient 0^7, Oy deux axes rectangulaires, et M un point ayant pour coordonnées {x,y). Si l'on prend sur OM un point M' tel que OM.OM' = k, on dit que M' est l'inverse de M, la puissance d'inversion étant égale à k. La puissance k est positive ou négative, suivant que OM et OM' ont le même sens ou des sens contraires. Pour obtenir une relation entre les coordonnées

de M et celles de M'{x', y'), remarquons que

X y ÔM k

X y OM' x^-^y>-

tlonc

kx' ky'

A la co\xvhef{x,y) = o correspond une courbe que nous nommerons inverse de la première et qui a pour équation

kx ky

■ y^ x''-\-y^ Au cercle

x- -^ y'^ -^ lax -^r- iby -\- c = o

correspond un nouveau cercle ayant pour équation

c{x^-\-y^) -\- ik{ax -^ by) -t- k^ = o.

Si l'on suppose c = o, c'est-à-dire si le cercle donné passe par le pôle d'inversion, l'inverse est une droite. Réciproquement, l'inverse d'une droite est un cercle. En effet, à x — a = o correspond

a {x'^-i- y-) — kx = o.

Le centre du cercle représenté par cette équation est sur la perpendiculaire abaissée du pôle sur la droite donnée.

On démontre en Géométrie que l'angle de deux courbes en un point M qui leur est commun -est égal à l'angle des courbes inverses, au point correspondant M' ; nous vérifierons plus loin cette proposition par le calcul. Il en résulte que si d est la distance des centres de deux cercles ayant pour rayons r, r' , l'expression

reste invariable quand on transforme les deux cercles donnés par inversion ; on peut le vérifier directement. Il en résulte que les expressions

i- i- et ; —

restent invariables. Le carré d'une tangente commune extérieure a pour expression d^— (/• — r'Y et le carré d'une tangente commune intérieure est égal à d- — {r-^r'y. En désignant par T l'une des tangentes communes, on

voit que est invariable.

s/rr'

Considérons quatre cercles tangents à une droite aux points A, B, G, D; les

igS! CHAPITRE VI.

longueurs AB, AC, . . ., CD sont des tangentes communes. De la relation

AB.CD ^- ÂD.BG = ÂG.BD,

en désignant par (/>, cj) une tangente commune à deux cercles /-p, Vq^ on

déduit

d=(i,2)(3, 4)±(«,4)('2,3)dz(i,3)(2,4) = o.

Cette relation subsiste après l'inversion. Si le cercle (4) s'évanouit, son centre se place sur le cinquième cercle et les carrés des tangentes communes relatives à ce cercle deviennent les puissances d'un point d'un cercle tangent aux trois premiers. On en conclut que, si les équations de ces cercles sont G] = o, 62= o, €3= o, l'équation d'un quelconque des cercles tangents aux trois premiers est

(•2, 3)v/g;± (i, 3)/C;± (i, 2)v/C;= o [Gasey(I)].

Équation du cercle en coordonnées trilinéaires.

251. Nous savons déjà que si a, p, y sont les coordonnées normales, le cercle circonscrit au triangle de référence a pour équation

a. Py -+- ô-ya 4- c.a^ = 0.

En ajoutant au premier membre de cette équation une fonction du premier degré arbitraire et rendant l'équation homogène, on obtient

Cette équation, qui renferme trois paramètres arbitraires t<, t», w^ est l'équation générale du cercle, en coordonnées normales.

L'équation de la droite de l'infini étant, en coordonnées normales,

aa -H 6 p + CY = o, devient, si l'on emploie des coordonnées quelconques,

cette équation devant être identique à

/•a -H /-'P -H /'"y = o, on en conclut