Ï7- ^ ]JJ' ^ V
(') Voir la Géométrie analytique de G. Salmon, traduction Yauclieret, t. 1' p. 191.
Il en résulte que l'équation du cercle circonscrit au triangle de référence
est
a).3Y -h b [iva •+■ cva|3 = o, c'est-à-dire
\^r'^^ -+- 1^2 /-'ya -+- v2/"a!3 = o,
et l'équation d'un cercle quelconque devient
X^z-^Y -t- iJt*/''Ya-4- v2/-"a3-t-(tta-f- (^^ -^ tv^) (/"a + /''^ -H /-"y) = o.
25:2. Équation du cercle inscrit au triangle de référence ; cercles exinscrits. — Soient {Jig. 69) D, E, F les points de contact du cercle inscrit avec les côtés du triangle ABC. On sait que les angles du triangle DEF ont pour valeurs
90° > 90" ) 90" • En supposant 1 origine des
coordonnées à l'intérieur de DEF et appelant a', P', y' les distances d'un point M aux côtés de ce triangle, le cercle circonscrit au triangle DEF a pour équation
P'y'coSj a -p Y'a'cos^B -t- a'^'cosf G = o.
Mais, en vertu d'une propriété connue du triangle isoscèle, on a pour tous les points de ce cercle
a'2==pY, ^'2=Ya, Y'2=a,3.
Si (a,^, y) sont les coordonnées d'un point de l'arc sous-tendu par EF, P' et y' sont positifs et a' négatif; donc
a' = -v/p^> '^'=\/V; ï'-/^on a donc pour cet arc
— /acos |A -!-/^cos| B -+■ /ycos^G = o. On trouve de même pour les arcs DE et DF
/a cos I A — /? cos ^ B -I- /y cos | G = o, v/acos| A -t- /pcosj B — y^coSjG = o.
Sous forme entière et rationnelle, l'équation du cercle inscrit à ABC est
«îcos^lA -f- p2cos*|B + Y^cos^G
— a^Y cosyB cos 2 G — aya cos^G cos|A — 2a3 cosjA cos^B = o.
On emploie la même méthode pour les cercles exinscrits. On trouve pour NiEWENGLOWSKI. — G. an., I. l3
ig^ CHAPITRE VI.
le cercle exinscrit intérieur à l'angle A H- ^ k
a2cos»|A + p2sin«iB -4- Yagin^C
— '2pY sin|B sin|G 4- 2 y* sin j G cos|A -)- 2a[3 cos|^A sin^B = o.
EXERCICES
i. Former l'équation du cercle des neuf points relatif à un triangle donné.
2. Si l'on nomme 3^0,^0 les coordonnées du centre du cercle circonscrit à un triangle ABC, cri, jKi ; ^i, Ji', ^3, yz les coordonnées des sommets de ce triangle, le centre du cercle des neuf points de ce triangle a pour coordonnées
3. Oh mène par un point A deux droites qui rencontrent un cercle fixe aux points B, G et B', G' respectivement. Prouver que les cercles ABC' et AB'C se coupent en un point situé sur le cercle décrit sur AO comme diamètre, O étant le centre du cercle donné.
4. Soient AB une corde, G le milieu de l'un des arcs qu'elle sous-tend dans un cercle donné et P un point quelconque pris sur la circonférence de ce cercle; on prend sur PC une longueur PM = PA + PB. Trouver le lieu de M.
5. Les pieds des perpendiculaires abaissées d'un point P du cercle circonscrit à un triangle sur les côtés de ce triangle sont en ligne droite et réciproquement. Déduire de là l'équation du cercle circonscrit au triangle do référence.
La droite obtenue (droite de Simson) passe à égale distance du point 0 et de l'orthocentre.
En prenant pour axes deux diamètres rectangulaires du cercle circonscrit au triangle ABC, et en appelant a, p, y, cp les angles que les rayons OA, OB, OC, OP font avec l'axe des x, on peut déterminer l'axe des x de façon que a -i- p -H Y = 9.7r. La droite de Simson a alors pour équation
. cp C3 ^/.3o .a — o.B — o.v — C2
X sm - -+- y cos -- = K( sin — - -l-asin •- sin ' sin
En transportant l'origine au centre du cercle des neuf points, la direction des axes étant conservée^ cette équation devient
a? sin i -t- j cos ^ = — sin -^ (Badoureau, Nouvelles Annales, 1879).
6. On donne un cercle S, un triangle ABC y inscrit et deux points P, P' sur la circonférence S. 1° Trouver le lieu du point de rencontre M des deux droites
CERCLIÎ. 195
(le Simson qui correspondent à P, P' quand le sommet G se déplace sur la circonférence S, A et B restant fixes. On trouve un cercle S'.
2° Trouver le lieu du centre de S' quand A et B étant fixes, P et P' se déplacent de manière que l'axe PP' reste constant.
7. Démontrer que les cercles, ayant pour diamètres trois cordes apparte- | nant à un même cercle et partant d'un môme point de ce cercle, se coupent • en trois points situés en ligne droite.
8. Les cercles décrits sur les trois diagonales d'un quadrilatère complet ont même axe radical.
9. Lieu des points tels que si l'on abaisse de chacun d'eux des perpendiculaires sur les côtés d'un triangle donné, le triangle formé par les pieds de ces perpendiculaires ait une aire constante 2k.
— On trouve deux cercles concentriques au cercle circonscrit. R étant le rayon du cercle circonscrit, les carrés des rayons de ces cercles ont pour valeurs Rî ± ■ ■ .^\, ■ .. .
sin A sino sinO
10. En nommant d la distance des centres du cercle inscrit et du cercle circonscrit à un triangle et r, R les rayons de ces cercles, prouver que
1° En appelant r' le rayon du cercle exinscrit situé dans l'angle A, et d' la distance de son centre à celui du cercle circonscrit, on a
Montrer que, si l'une de ces relations a lieu, il y a une infinité de triangles inscrits au cercle R et dont les côtés sont tangents au cercle /• ou r'.
11. Trouver le lieu des points tels que la somme des carrés de leurs dislances à des points donnés soit constante, chacun des carrés étant multiplié par un coefficient constant. Cas où la somme des coefficients est nulle.
12. Lieu des centres des cercles qui sont vus de deux points donnés sous des angles donnés.
13. Démontrer que l'axe radical de deux cercles est équidistant des polaires de l'un quelconque des centres de similitudes.
— Prendre le centre de similitude considéré pour origine.
14.. Soient G = o, C'= o, 0'= o les équations de trois cercles fixes. Le cercle ayant pour équation IC -hVC-hyC = o est orthogonal à un cercle fixe.
— Appliquer le corollaire du n" 243.
15. Condition pour que quatre cercles soient coupés orthogonalement par un cinquième.
— En appelant A, B, G, D les centres des quatre cercles, Si, S2, S3, S^ les aires des triangles AGD, CDA, DAB, ABC; bti, ©2, ^3, 134 les puissances d'un point quelconque de l'origine, on a la condition
TUi Sj T«T2 S2 -H '^3 S3 TJUif 04 = O,
