Déterminer les cercles tangents à trois cercles donnés

{Voir G. Salmon, t. I*"", p. i85. Consulter: Leçons de l'Agrégation classique, par G. Kœnigs, Paris, Hermann.)

19. Déterminer tous les systèmes de deux familles de cercles tels que tout cercle de la première coupe tout cercle de la seconde sous un angle donné.

253. On nomme lieu géométrique l'ensemble des points qui jouissent d'une propriété particulière. Il arrive quelquefois que cette propriété est assez simple pour que l'on puisse en déduire immédiatement M équation du lieu. C'est ainsi que nous avons pu déduire de leurs définitions les équations du cercle, de l'ellipse, de l'hyperbole ou de la parabole. Mais, le plus souvent, le lieu que l'on cherche est décrit par un point mobile dont les positions successives dépendent des valeurs attribuées à un paramètre variable. Par exemple ,

on peut chercher l'équation de la courbe décrite par un point mobile M, dont les coordonnées rectilignes x, y sont liées à un paramètre variable a par les équations

/ elf\ désignant des fonctions continues de a. A chaque valeur a^^ attribuée au paramètre a, correspond une position bien déterminée de M, dont les coordonnées sont Xo=/(aQ), j>^o = /, («o), en admettant que chacune des fonctions données n'ait qu'une seule détermination. Plus généralement, le point M peut être défini comme étant l'un quelconque des points communs à deux courbes variables, dont les équations

(i) /ix,y,a)^o, fi{x,y,a) = o

renferment le paramètre variable a. A chaque valeur «oi attribuée au paramètre «, correspondent deux courbes, une de chaque famille, qui se coupent en un ou plusieurs points, dont les coordonnées vérifient les équations

/(t, jK, «0) = 0, fi{x,y,a^) = o.

SoitMl'un de ces points. Si l'on fait varier a d'une manière continue, M se déplacera, en général, d'une manière continue, et l'ensemble de tous ces points décrira une courbe dont il s'agit d'obtenir l'équation.

Je dis qu'on obtiendra l'équation du lieu défini par les équations (i), en éliminant a entre ces deux équations.

En effet, soient X(^, y^ les coordonnées d'un point du lieu, c'està-dire d'un point commun aux courbes définies par les équations

(2) /(x,y,ao} = o, fi{x,y,aQ) — o,

de sorte que

Les équations

(3) /(^o,ro,ft) = o, /i{To,yo,a) = o

ont au moins une solution commune Gq. Par suite, en désignant par

igS CHAPITHE VU.

R(^o?JKo)l6 résultant des fonctions de a :y(:P(,,j^07^)i/) (•^oj.Koi'^)? on a

(4) R(^o,ro) = o;

ce qui signifie que le point (^o^JKo) appartient à la courbe représentée par l'équation

Réciproquement, si (^o^JKo) sont les coordonnées d'un point de cette courbe, la condition (4) est vérifiée; par suite, les équations (3) ont au moins une solution commune a^ ; en d'autres termes, le point (a^cJKo) est l'un des points communs aux courbes (2) et, par suite, ce point est bien un point du lieu.

Il ne reste plus qu'à remarquer que l'équation (5) est la résultante des deux équations (1).

254. Généralisation . — Il arrive le plus souvent que l'on est obligé de faire intervenir plus d'un paramètre variable. Par exemple, on peut considérer des courbes variables définies par les équations

(6) / (a?,jK, a, ^') = o,

dans lesquelles «, 6 désignent deux paramètres variables liés par une équation

(8) cp(a,6) = o.

On aura l'équation du lieu du point i^x^y') en éliminant a el b entre ces trois équations.

Effectivement, soit

la résultante des équations précédentes, dans lesquelles on regarde a et b comme seules variables.

Si ^^Oî /"o sont les coordonnées d'un point M du lieu, il existe un système de valeurs, «oj ^0 satisfaisant à l'équation (8) et auxquelles correspondent deux courbes définies par les équations

f(x,y,ao,bo) = o, fi(x, y, ao, bo) ^ o

qui passent par le point M, de sorte que l'on peut écrire

/(^o, .Ko, «o> 60) = o, /i(3^o,7or «0, ^0) = o, o{ao, Ùq) — 0. Il en résulte que les équations

(9) f (^(),yo,ftJ^) = o,

(10) fi(a-o,yo,a,f>) = o, (I 1) o(a, b) — o

ont au moins une solution «01 ^o? et, par conséqueni.

Réciproquement, si cette dernière condition est remplie, les équations (9), (10), (i 1) ont au moins une solution commune; ce qui démontre que le point .Ta,yo est un point du lieu.

D'une manière générale, l'équation de la courbe décrite par un point dont les coordonnées a:, y vérifient ii -\- i équations

\ fn{^, y,ct\,ai' •..,a,i) =0,

dans lesquelles figurent n paramètres «,, «o? •••1 <^'«j s'obtient en éliminant ces n paramètres entre les n + i équations précédentes.

En effet, si

est la résultante de ces équations, la condition

est la condition nécessaire et suffisante pour que les équations

/ {sTo, y<i,a\,ai, . • .,rt«) = o.

admettent au moins une solution

ai = a. , «2 = «•>'

c'est-à-dire pour que le point (^05^0) soit commun aux courbes définies par les équations (12), dans lesquelles les paramètres ont les valeurs particulières a\^ «1, ..., a'^, ou, en définitive, pour que le point M {x^^yo) soit un point du lieu.

255. La proposition que nous venons d'établir est générale ; mais elle appelle quelques observations.

Supposons en effet, pour plus de simplicité, que les conditions géométriques définissant la position d'un point M du lieu cherché soient exprimées au moyen des équations (i), renfermant un seul paramètre variable a et soit R(^, j^) = o la résultante de ces équations. Soit M un point de la courbe (5). Nous avons dit qu'à ce point, ayant pour coordonnées x^, yo, il correspond au moins une valeur a^ du paramètre a, telle que les courbes définies par les équations /(;r, y, «o) = o, /) {x, y, a^) ^ o passent toutes les deux par le point M. Or il peut se faire que ces courbes ne répondent pas véritablement aux conditions géométriques de l'énoncé du problème pour toutes les valeurs de a; par exemple, il peut arriver que a doive être réel et même en outre compris entre certaines limites. Il est clair dès lors que si a^ ne vérifie pas ces conditions, le point M ne fait pas partie géométriquement du lieu; c'est ainsi que certaines parties de la courbe, représentée par l'équation (5), peuvent être des parties parasites.

En second lieu, si l'une des courbes (i) passe par un point fixe A, ayant pour coordonnées Xt, yt, et cela quelle que soit la valeur de a, le point A sera nécessairement un point de la courbe R(^,j^)^o. En effet, supposons que f{x^^y^,a)^o, cette identité étant supposée vérifiée pour toutes les valeurs de a. On peut, en général, trouver une ou plusieurs solutions de l'équation

fï{x^, yi,a) = o.

Soit «0 l'une de ces solutions. On aura /(x,, j^m <^o) ^= o, /, (.r,, jKi j <^o) = o. Ce qui prouve que R(^i, yi)^=: o.

D'après ce que nous avons dit plus haut, le point A ne fera véritablement partie du lieu que si l'on peut trouver une solution «o telle que les courbes représentées par les équations /(.r, j^, «o) = o, fi{x, y, ao) ^= o répondent aux conditions géométriques données. S'il n'en est pas ainsi, le point A sera un point parasite.

Nous allons éclaircir ces considérations par quelques exemples simples.

256. Problème. — Trouver le lieu des milieux des cordes d'un cercle qui passent par un point fixe.

Nous prendrons {fig- 70) pour axe des x le diamètre du cercle donné passant par le point fixe A, l'axe des^ étant le diamètre perpendiculaire.

Soit x^-\-y'- — R- = o l'équation du cercle. Si l'on désigne par d l'abscisse du point A, l'équation d'une sécante passant par A est de la forme

Fig. 70

Cette sécante coupe le cercle en deux points B, C; proposonsnous de déterminer les coordonnées du milieu M de la corde BC. L'équation aux abscisses des points d'intersection du cercle et de la sécante étant

l'abscisse du point M est égale à la demi-somme des racines de celle équation; en appelant x celle abscisse, on a, par suite,

a*rf

Nous sommes ainsi conduits à éliminer a entre les équations (1) et (3) ; cette élimination ne présente aucune difficulté, et l'on trouve

immédiatement

x[{x — d)'^-\-y^] — dy^- = o

ou

Cette équation se décompose en deux, savoir

x^-\- y- -- dx ^=z o et x — d — o.

La première représente le cercle décrit sur OA comme diamètre et la seconde la perpendiculaire à OA menée par le point A.

Il est évident que la seconde solution ne répond pas au problème;

il s'agît d'expliquer pourquoi la méthode que nous avons suivie nous a donné cette solution. Nous avons remarqué que l'abscisse du milieu d'une corde BC passant par A est égale à la demi-somme des racines de l'équation (2); la réciproque n'est pas vraie : un point situé sur une sécante passant par A et dont l'abscisse est égale à la demi-somme des abscisses des points d'intersection du cercle avec la sécante n'est pas nécessairement le milieu de la corde que cette sécante détermine dans le cercle; cela n'est vrai que si la sécante n'est pas perpendiculaire à OA. En effet, si l'on suppose que a grandisse indéfiniment, l'équation (2), que l'on peut écrire

devient, à la limite,

de sorte que l'abscisse d'un point quelconque de cette sécante, et non pas seulement du milieu de la corde qu'elle détermine dans le cercle, est bien égale à la demi-somme des racines de l'équation précédente. En un mot, nous avions transformé le problème proposé en cet autre problème, qui ne lui est pas équivalent :

Trouver le lieu du point de la sécante représentée par V équation (i), dont V abscisse est égale à la demi-somme des abscisses des points d'' intersection de cette sécante et du cercle donné.

La solution x — d=o convient à ce nouveau problème, mais c'est une solution étrangère pour le premier problème.

En second lieu, lorsque le point A est extérieur au cercle, toutes les sécantes ne le coupent pas en des points réels. Les racines de l'équation (2) sont réelles quand on suppose

et imaginaires si

Mais, quand ces racines sont imaginaires, leur demi-somme est réelle et, par suite, le point milieu de la corde BG est encore réel quand les points B et G sont imaginaires conjugués. On peut distinguer

LIEUX GÉOMÉTRIQl'KS. 2o3

sur le cercle trouvé les arcs qui correspondent à des cordes réelles de ceux qui correspondent à des cordes imaginaires. Remarquons d'abord que si A est intérieur au cercle, ou sur sa circonférence, tous les points du cercle décrit sur OA sont des milieux de cordes réelles. Dans le cas où le point A est extérieur, la seule parlie du cercle décrit sur OA qui correspond aux cordes réelles est celle qui est à l'intérieur du cercle donné.

On aurait pu résoudre le problème proposé d'une autre manière, en remarquant que, le milieu de la corde BG étant sur le diamètre perpendiculaire à cette corde, le point M est à l'intersection de la droite définie par l'équation (i) et de la droite représentée par l'équation

(4) ay-\-x = o.

En éliminant a entre les équations (i) et (4), on obtient, immédiatement l'équation du lieu

Ici encore nous avons transformé le problème en celui-ci, qui est indépendant du cercle donné :

Trouver le lieu des pieds des perpendiculaires abaissées du point O sur les droites menées par le point A.

Quand le point A est intérieur au cercle donné, les deux problèmes sont absolument équivalents^ mais si le point A est extérieur à ce cercle, et que l'on ne considère que les cordes réelles, le point d'intersection d'une sécante passant par A avec la perpendiculaire abaissée du point O ne convient au premier problème que si la sécante coupe le cercle en des points réels.

Remarquons enfin que, les sécantes considérées passant toutes par A, le lieu trouvé passe aussi parce point, qui d'ailleurs n'est parasite que s'il est extérieur au cercle donné.

237. Problème. — Etant donné un angle xOj',on mène par un point ^xe des sécantes coupant les côtés de l^angle aux points P, Q que Von joint à deux points fixes B, G pris sur les cotés; trouver le lieu des points d^ intersection des droites BQ, PG.

Prenons {fig- 71) les deux côtés de l'angle donné pour axes et soient a, (3 les coordonnées du point A. Si l'on désigne par b e\. p les abscisses des points B et P et par c, q les ordonnées des points

C, Q, on voit que le point M est le point de rencontre des droites définies par les équations

Mais, la droite PQ passant par le point A, les deux paramètres /?, q sont liés par la relation

L'équation du lieu de M s'obtiendra donc en éliminant p el q entre les équations (i), (2) et (3). En portant dans l'équation (3)

les valeurs de - et - tirées des deux premières, on obtient

^ — ^a.^ -hxy — (^x-h^y) = o.

Le lieu est donc une courbe du second degré qui se décompose en deux droites si le discriminant du premier membre est nul. La condition pour qu'il en soit ainsi, savoir

exprime que pœ -\- ay divise p -^ — \-ol- — (- a:y. Si l'on suppose a^ ^ o, cette condition se réduit à

Donc, si le point A est sur la droite BC, l'équation du lieu peut

s'écrire

(Par+ajK)(|

LIEUX GÉOMÉTRIQUES. 2o5

Dans ce cas, le lieu se compose de la droite BC elle-même et de la polaire du point A par rapport à l'angle donné.

Lorsque la sécante est confondue avec BG, les droites PC et BQ sont aussi confondues avec BG, et le point M est un point quelconque de la droite BG qui devait ainsi faire partie du lieu.

258. Problème. — Par un point O {fig. y?.) pris sur l'un des côtés d'un triangle ABC, on mène une sécante variable, coupant les côtés AB et AG en D ef E. On demande le lieu des points de rencontre des cercles circonscrits aux triangles OBD, OCE.

Prenons pour axes des x le côté BG et pour axe des y la perpendiculaire à ce côté menée par le point 0. Soient p et Y l^s coefficients angulaires des droites AB, AG et 6, c les abscisses des sommets B, G. Si M est un point du cercle circonscrit au triangle OBD, l'angle de BM avec OM est égal à l'angle de BD avec OD; par suite, l'équation de ce cercle est

m désignant le coefficient angulaire de la sécante OD. En développant l'équation précédente, on obtient

(i) m {x^ -{- y^- — bx -^ b'^y) -^ b'^x + by — ^ {x'^^ y'^) = o;

de môme, l'équation du cercle circonscrit au triangle OGE sera

(2) m{x'^-\- y"^— ex -\- c^y) -(- c-{X -\- cy — "^ (x^-hy^) — o.

On aura l'équation du lieu en éliminant le paramètre m. On trouve

(37*4-72) x^ -hy^- — {b -h c) X -h {c — b)

y -h bc

Le second facteur égalé à zéro représente un cercle; on vérifie facilement que c'est le cercle circonscrit au triangle ABG, ce que l'on peut démontrer a priori par des considérations géométriques élémentaires.

Le second facteur donne les droites isotropes menées par l'origine. On se rend compte facilement de ce résultat. En effet, si l'on pose, par exemple,

y = ix, l'équation (i) devient

(w — 0(P + 0 = o, et l'équation (2)

Comme p et y sont supposés réels, on en conclut que m = i; or, si l'on suppose m = i, l'équation (i) se met sous la forme

ou, en supprimant le facteur i — p qui n'est pas nul,

(x + i» (x — iy — b) = o,

le cercle dégénère en deux droites, dont l'une x -\-iy = o ou y — ix = o est la sécante isotrope menée par le point 0, et la seconde, une droite isotrope menée par B et ayant pour coefficient — i. D'ailleurs, si l'on veut faire passer un cercle par le point 0 et par le point de rencontre d'une sécante isotrope issue de l'origine avec la droite AB, cette droite isotrope aura encore avec le cercle un point commun à l'infini, le point I ou le point J; par conséquent, celte droite, rencontrant le cercle cherché en trois points, ce cercle se décomposera nécessairement en deux droites isotropes, l'une de ces droites étant la sécante et l'autre la droite isotrope de direction conjuguée à la première et menée par le point B. De même, l'équation (2) prendra la forme

{x-^iy){x — iy — c) = o.

La droite x -^r iy = o fait donc partie de l'intersection de ces cercles.

Remarque. — On peut faire l'élimination de m de la manière suivante. En posant j3 = tangB, y = tangC, m — tangM, on a

'"t,"^^ ''^"^^ =tang[B-M-(C-M)] = tang(B-C) = -ê^;

donc

by cy

x-^y^ — bx x^-+-y^ — ex p — y

(ar^î+jK^ — bx){x--i-y- — ex)

ou, en simplifiant,

(b — c) (x^-hy^\r B — Y

(x'^-j- y^yi— (b-^ c)x{x^-Jr y^) -h bc{x-^-hy-^) ~ i -4- Py

et, sous forme cniièro,

ih-Py

{x--y- y-) .r^-hj^— (^ |- c):f-+- (c — 6) -^ — -' y -\-bc

!2r»9. Problème. — Une corde variable PQ d'un cercle {fig- 73) est vue d'un point fixe A pris dans le plan du cercle, sous un angle droit. Trouver le lieu du pôle de PQ par rapport au cercle.

Prenons pour axe des x le diamètre qui passe par le point A, le diamètre perpendiculaire au premier élanl pris pour axe des y. Soit a l'abscisse du point A et soient Xq, y^ les coordonnées du point M, pôle d'une corde PQ répondant à la question.

Le cercle donné ayant pour équation

la polaire de M est définie par l'équation xxq-\- yyo — R- = o.

Il reste à exprimer que l'angle BAQ est droit. Pour cela, nous allons former l'équation du faisceau des droites AP, AQ, ou, plus exactement, celle du faisceau des parallèles à AP et AQ menées par le centre du cercle. Soient a, p les paramètres directeurs d'une droite passant parle point A; les coordonnées d'un point de cette droite sont x=a-\-aLÇ>, ^ = Pp; exprimons que cette droite passe par l'un des points communs au cercle et à la droite PQ; il faut et il suffit, pour qu'il en soit ainsi, que les équations en p, (a -t- ap)--<- p2p2 — R2 = o, aro(« -H a?) -I- pjKo P — U^ = o aient une racine commune. L'élimination de p entre ces deux équations donne

a2+ 3'-)(a:ro— R-2)'- ~inoi{axQ— R2)(aTo-H3/o) + («-— \^'^){olxq-

?ro)-

Si l'on regarde a et ^ comme des coordonnées courantes, cette équation représente le faisceau des parallèles à AP et AQ menées par l'origine; pour que AP et AQ soient rectangulaires, il faut et il suffit que la somme des coeflicients de «^ et ^^ soit nulle, c'est-à-dire

— 2 R2(aa7o - R2 j -i- (a'- — R^ ) ( x^xç, -+- ^«jo) = o.

On a ainsi trouvé l'équation du lieu, qui est, en remplaçant x^^, y^ par des coordonnées courantes,

ia'— R2)(a:2-h7-) — xaW-x + aR* = o.

Ce lieu est un cercle.

Remarque. — Nous avons procédé dans cet exemple autrement que dans

les exemples précédents; la marche régulière eût été celle-ci : Mener par le point A deux droites rectangulaires définies par les équations

y — vi{x — a) = o,

my

Chacune de ces droites coupe le cercle en deux points, ce qui donne quatre cordes correspondant à chaque valeur de m. Les coordonnées de l'un des points d'intersection de la première sécante, par exemple, avec le cercle, étant calculées, puis de même celles de l'un des points d'intersection du cercle et de la seconde sécante; on pourra former l'équation de la droite joignant ces deux points; cette équation sera irrationnelle, elle contiendra deux radicaux affectés chacun d'un double signe. Gela fait, en identifiant l'équation ainsi obtenue avec celle de la polaire d'un point (a7o,^o)) on obtiendra deux équations entre m, cpq, j-q et il restera à éliminer m entre ces deux équations. On voit combien il est souvent utile de chercher une méthode particulière au problème proposé pour en obtenir simplement la solution.

260. Voici un exemple d'artifice dispensant de tout calcul pour obtenir un lieu géométrique.

Étant donnés {fig'T'x) un angle xOy et un point P par lequel on

mène des sécantes PAiBi, PA2B.2, PA3B3, ... rencontrant les côtés de l'angle aux points Ai, Aj, A3, . . .

et El, B2, B3, ...; on prend sur une droite Ojki des points Gj, Gj, G3, ... tels que

OGi = OB,, OG2=OB2, ....

Prouver que les droites AiGi, A2G2, A3G3, ... sont concourantes et trouver le lieu de leur point de concours quand on suppose que Oyi tourne autour du point 0.

Posons OA;, = an, OB = 6« = 0G„. Si l'on prend pour axes les côtés de l'angle donné, les droites issues de P ont pour équations »

ai

Ges droites se coupent en un point P dont les coordonnées sont a, p. Si nous prenons pour axes les droites Ox et Oyi les mêmes équations représentent les droites Ai G,, A2G2, A3G3, Donc ces droites se coupent au

point (a, P).

Pour construire le point qui a pour coordonnées a, p dans le nouveau système, menons PR parallèle à Oy et RQ parallèle à Oyi et enfin prenons

RQ = RP ; le point Q est le point cherché. Le point R étant fixe et la longueur RQ invariable, le lieu du point Q est le cercle décrit de R comme centre avec RP pour rayon.

261. La principale difficulté dans la résolution des problèmes de Géométrie analytique réside le plus souvent dans l'élimination des paramètres. Voici un exemple d'élimination ingénieuse, que nous empruntons à la Nouvelle Correspondance (t. I, p. 117) :

Trouver le lieu décrit par le point de contact mutuel de deux cercles variables tangents à deux cercles fixes.

Soient R, R' les rayons des cercles donnés, d la dislance de leurs centres O, O', l'axe des x étant la droite 00' et l'axe des y la perpendiculaire à 00' menée par le point O. Nommons a, p les coordonnées du centre du cercle variable C, et p son rayon. Soient a', P', p' les quantités analogues relatives au cercle C, enfin soient x,y les coordonnées du point de contact M de G et G'. Nous aurons, en supposant les cercles deux à deux extérieurs l'un à l'autre,

(•2) (rf-a)2-|-p2 = (R'-Hp)2,

Il s'agit d'éliminer a, p, a', |3', p, p' entre ces équations. Posons

a^ — a = pcoso, y — p = psino, a'— o? = p'cosç, p' — y — o'^\x\^,

les équations (5), (6), (7) seront vérifiées; quant aux autres équations, elles deviennent par ces substitutions

a;2 4 j'2 2p(2; C05(3 ^^ sincç) = R2-(-2Rp,

^2— •2<;(x — pcoso) = (IV— R)(R'-H R-i-2p),

a:2 l^ï j 2p'(a-coso -4-/ sin^) = R^-h sRp',

rf2 2j(x-Hp'c0Sç) = (R'— R)(R'-H R-(-2p').

Entre ces quatre équations, combinées deux à deux, éliminons p et p'; on NiEWKNGLOWSKi. — G. an., I. ,4

trouve

(x^ -)- jK- — R^) (R' — R — dcos (p) = (d^ — Q.dx-i-R^ — R'2) (R + a? cos cp -\-y sin tp), (^2 + j2 R2j (R' R 4- c?cos cp) — (d-^ — Q. dx + R2 — R'2) (R— a7cos 9 —y sin cp).

Ajoutant membre à membre,

(R'R)(a72 + j2 R2)= V^{(P—-xdx^ R2 R'2)^

ou enfin

a»2 4^.2 2____^ + RR + ____^2^o.

Le lieu est donc un cercle dont le centre est le centre de similitude directe S des deux cercles 0, 0'. On vérifie que le rayon est moyen proportionnel entre les distances de S aux deux cercles donnés.

Cette solution est due à M. E. Catalan.

Remarque. — Le choix des axes joue naturellement un grand rôle dans la résolution des problèmes. On peut arriver à la solution du problème précédent en prenant pour origine un centre de similitude des deux cercles, l'axe des X étant la ligne des centres et les axes étant rectangulaires.

Les cercles donnés ont pour équations

(iP — «)2 + j2= R2, (.r a')2[^2^ R'2^

avec les conditions a! =^ ka, R'= AR.

Soient a, p les coordonnées du centre et p le rayon d'un cercle C tangent aux deux premiers; a', P', p' les quantités analogues relatives à un cercle C, tangent aux deux premiers cercles et au cercle C.

Nous avons

Enfin, si x,y sont les coordonnées du point de contact des cercles C, C,

,., ap'-+-a',o

IP

les contacts étant supposés extérieurs.

Les équations (i) et (2) développées donnent

a2 i p— r,i— 2rta -t- R2 4- 2Rp — a2, a2-f-p— p2= la'oL-h R'2-|-2R'p — a'2,

LIEUX GÉOMÉTRIQUES. 'i I I

d'où l'on lire, en ajoutant menibre à membre, après avoir multiplié par A et — i,

f a2+ p2 p2) (A- — i) = A- R2— A-2 R2+ k'-a^— Ay/^ = A( A- — i) (a'-— R^),

d'où

Kn traitant de la môme façon les équations (3) et (4), on trouvera

Les équations des cercles C, C sont donc de la forme

Mais les coordonnées ce, y du point de contact vérifiant ces deux équations, on a aussi

(x^-hy^){p-\- p') — '>.x{0Lp'^ «'?) — '-ij (??'-+- p'p) -I- ^■(«-— ^"l)(? -+-p') = o, ou, en vertu des équations (5) et (6),

a-2 ( j2 /,• (aî—W-) — o.

Le lieu cherché est donc un cercle ayant pour centre le centre de similitude directe des deux cercles fixes.

L'axe radical des cercles variables C, G' a pour équation

(a — a)a?-h(,3'— p)jK = o;

il passe par l'origine. Ces résultats sont évidents géométriquement.

262. Il peut arriver, quand on cherche à éliminer un paramètre entre deux équations, que l'on parvienne à une équation indépendante du paramètre et qui soit une conséquence des deux équations proposées; il importe de ne pas oublier qu'une équation ainsi obtenue n'est pas nécessairement la résultante des équations proposées.

Voici un exemple. Il s'agit d'éliminer m entre les deux équations

( I ) y -+- mx -^ (m-x — a) = o,

I —I— iit-

Ces équations se présentent dans un problème donné aux examens de l'Écolf Polytechnique (année 1887). Posons m = tangcp; les équations deviennent

(3) arsino+jK cos» = cos2cp(^ coso — a sins),

(4 ) iFCOScp — j sin o = cos2©( ^ sin o -t- acoscp).

Faisons la somme des carrés

(5) a72-i-jK2 = (a2+ p2)cos2 2cp.

Les équations (3) et (4) donnent

(6) ^ = (P sin2'-j> + a cosatf ) cos2'i),

(7) jK = (pcos2o — a sin 2cp) cos2cp ;

on en lire

ou

j^ pcosacp — asinacp X a cos2<f -h p sin-itp

cos2!p sin2o I

P/ pa^ — aj- ± V/^^2I^ p2 y/^ïip^2

Tirant de cette équation cos2cp et portant sa valeur dans l'équation (5), on trouve

équation qui représente deux cercles. Mais la méthode que l'on vient de suivre n'est pas correcte. L'équation (5) est une conséquence des équations (3) et (4), mais si l'on avait remplacé ces équations par les suivantes

(3)' xiino -\- y coso = — (p coscp — a sinç) cos2cp,

(4)' ^"costp — y sin cp = — ( ^ sincp -\- acos©) cos2ip,

on aurait obtenu encore les équations (5) et (8), et par suite on a introduit des solutions étrangères. Or, en se servant des équations (6) et (7), qui sont équivalentes aux équations (3) et (4), on obtient

'ày -[- a.x — {%^-\-^^)co?:^'io — x^ -h y'^;

le lieu est donc le cercle représenté par l'équation

X' + y"^ — 'XX — '^y = o.