Soit encore à éliminer l'angle (p entre les équations

P cos !p + Q sin cp + R = o, P' ces cp + Q' sin tp -+- R' = o.

Il y a deux, cas à distinguer : 1° PQ' — QP' ^ o. Dans ce cas, en résolvant par rapport à sin(f et cos<p et portant dans la relation fondamentale

on obtient l'équation du lieu cherché sous la forme

(QR'— RQ')2+ (RP' PR')2 =^ (PQ' QP')2.

2° PQ' — QP' = o. Pour que les équations proposées soient compatibles, il

faut qu'elles se réduisent à une seule; donc on doit avoir

PR'— RP' = o et Q[l'-RQ' = o.

Ces deux équations se réduisent à une seule, puisque, si l'on regarde R et R' comme des inconnues, le déterminant des coefficients de ces inconnues dans les deux dernières équations est nul. Le lieu sera, dans ce cas, représenté par l'une ou l'autre des équations précédentes; mais, en général, les points réels du lieu n'occuperont qu'une partie de la courbe représentée par l'équation PR' — RP'=o; en effet, pour que la première des équations données détermine un angle cp, il faut, comme on sait, que l'on ait

On no devra donc conserver que les points de la courbe obtenue, dont les coordonnées vérifient cette inégalité.

Considérons, par exemple, les droites représentées par les équations

(.r — a) C0S3 -!-^sinœ — R = o, y cosip — (a7-l-a)sinç — R' = o.

Ce sont deux droites rectangulaires tangentes à deux cercles fixes de rayons R, R'.

Le lieu du point commun à ces tangentes a pour équation

{x-^-^y'i~a^-y = {Kx — J{y— R'a)^-4- (Ro: -H R>-)-Ra)2.

Ki'inarquons que les droites représentées par

R'.r — R^ — R'a = o, Kx -+- R'jk -H R« = o

sont rectangulaires; le second membre est donc égal à

(R2+ R'2) [(^ ^^)2+ (^ Jo)2],

^oi y» étant les coordonnées du point commun à ces deux droites; d'ailleurs xl -^ yl = a-. L'équation du lieu est donc

(:r2+r2 «î)2 = (R2( R'2)[(a; ^,)2 4- (r -ro)']:

elle représente une courbe du quatrième degré que nous étudierons plus tard, et dont la définition géométrique est facile, car si l'on désigne par P le point (^0» yo) et par M un point du lieu, la droite PM coupe le cercle décrit sur la ligne des centres des deux cercles donnés comme diamètre, en un second point Q, et l'équation du lieu exprime que

Pm\q\Î^= (R2-4-R'«)Pm'' d'où

QM = /R*-^R'«.

2ft4. Enfin, considérons les droites représentées par les équations kx -+■ By = A cos^ 4- B sincp, k' x ■+■ Wy — A'cosç -t- B'sin<p;

ces droites se coupent évidemment au point 37 = cosip, y ■= sintp; le lieu de leur point d'intersection est donc le cercle x'^-i-y-=^ i. Mais, si l'on suppose AB' — BA'=o, les deux équations se réduisent à une seule qui représente, quand «y varie, une infinité de droites parallèles à une direction fixe. Cependant tous les points du plan ne conviennent pas à la question, car <p n'est réel que si {kx -+- Bj^)2< A^-i- B^, ce qui exige que le point {x,y) soit compris entre les deux droites ayant pour équations

kx-^By — /a^-^ B='= o et A^ + Bj -+• \/A--r- B2 = o.

On voit d'ailleurs que, dans le dernier cas, le problème revient à celui-ci : trouver la condition pour que la droite ayant pour équation Aa7+BjK = A coupe en des points réels le cercle ayant pour équation ^2|j^2 — |.

EXERCICES

1. Par un point commun à deux cercles donnés, on mène une sécante : lieu du milieu de la corde commune.

Plus généralement, lieu du point qui partage cette corde commune dans un rapport donné.

2. Une corde d'un cercle est vue d'un point fixe A, pris dans son plan, sous un angle droit. Lieu du milieu de cette corde et lieu du pied de la perpendiculaire abaissée du point A, Montrer directement que ces deux lieux sont identiques.

3. Dans un triangle ABC, A et B restent fixes et G se déplace de façon que AC ± BG = const. Lieu du point de rencontre des bissectrices des angles en G avec la perpendiculaire menée par B au côté BG.

4. Etant donné un triangle, trouver le lieu du point M, tel que si l'on mène par ce point des parallèles aux côtés du triangle, la somme des rectangles des segments déterminés par le point M et les côtés du triangle sur chacune de ces parallèles soit constante.

5. Dans un parallélogramme, on mène des cordes AB et GD parallèles aux côtés; lieu du point de concours des droites AD, BG ou AG, BD.

6. Par l'un des points communs à deux cercles, on mène une corde commune PQ sur laquelle on construit un triangle PQM semblable à un triangle donné. Lieu du point M.

7. Une corde AB comprise entre deux droites parallèles est vue d'un point fixe P sous un angle droit. Lieu du pied de la perpendiculaire abaissée de P sur AB.

8. Etant donné un triangle ABG, on prend sur le côté BG des points D, E

COURBES DU SECOND DEGRË. 2l5