A E2 DE

et par suite, en posant a

mx -t- A + Y.

Construisons {Jig- 8i) les droites AB et CD représentées par les

équations

mx -h h et X

et supposons, pour fixer les idées, fr- > o. A chaque valeur de a; corres-

pond une valeur dey qui est égale à l'ordonnée de AB augmentée de Y; donc les points qui correspondent à ^ >> a seront situés par rapport à AB du côté des j^ positifs, et ceux qui correspondent k X <i a seront du côté des y négatifs. Remarquons enfin que, si a; croît de — oo à «, Y décroît de o à — 00 ; si :r croît de a à H- oo, Y décroît de + co à o ; on obtient donc deux branches infinies asymptotes à AB et à CD. En effet, soit x = OP, de sorte que y = PM = PQ + QM soit l'ordonnée correspondante et supposons OP > OC. Si l'on suppose que CP tende vers zéro, QM grandit indéfiniment. La parallèle à AB menée par M rencontre CD en un point R ; MR tendant vers zéro, le point M s'approche indéfiniment de la droite CD. Si, au contraire, OP grandit indéfiniment, QM tend vers zéro et, par suite, M s'approche indéfiniment de AB, On fera un raisonnement analogue pour les points situés de l'autre côté de la droite CD. La courbe obtenue a donc la même forme aue celle que nous avons

Irouvée en supposant o«<o, C^o; c'est encore une hyperbole. Si A =: o, le reste R étant nul, on a identiquement

— {\x-^7.ï)x ->r F) = ■2(Ba:-f- E)(wj7-l- k),

et, par conséquent, l'équation proposée est de la forme

( 9, B a? -H E ) (y — mx — h) = o.

En supposant que F varie seul de façon que A devienne nul, on voit que la courbe se réduira à ses deux asjfmptotes.

Lorsque A = o, on a /< = o et>?i = — ^; les asymptotes sont parallèles aux deux axes de coordonnées et représentées par les équations

Bj7-i-E — o, Bj' -f- D = o.

L'équation se réduit alors à

Ax^-h 2Dx -h "iEy -h F = o.

Dans ce cas A = — AE'^. Supposons A^^z^ o, A ^ o. L'équation précédente peut s'écrire