A -^ 2AE

on obtient

A X2 -+- -i EY = o.

C'est la forme trouvée dans l'hypothèse 0 = o, G^ o. La courbe est donc encore une parabole.

Si l'on suppose A = o, l'équation se réduit à

Ax'-f- iDx -+- F = o,

et représente deux droites parallèles à l'axe des y.

228 CHAPITRE VlII.

En résumé^ nous pouvons faire le Tableau suivant :

/ — GA>o, ellipse réelle.

0 > o. < A = o, deux droites imaginaires conjuguées, concourant en un point réel.

— GA < o, ellipse imaginaire.

A 7^ o, hyperbole.

A = o, deux droites réelles concourantes.

A ^ o, parabole.

E2 — CF > o D2— AF>o, réelles et distinctes.

deux droites ] E^ — GF = o ou D^ — AF = o, confondues.

( parallèles, j (imaginaires coniu-

fE2— CF<o D2— AF<o, *' ■'

\ ( guées.

267. Remarques. — Nous avons trouvé que l'hyperbole a deux asymptotes; nous verrons plus loin qu'elle n'en a pas d'autres.

La parabole n'a pas d'asymptotes. En effet, nous avons ramené l'équation de la parabole à la forme Y^ — -ipX = o.

Une parallèle à l'axe des X, ayant pour équation Y = a, coupe la courbe en un seul point à distance finie et la distance d'un point de la courbe à cette droite grandit indéfiniment quand M s'éloigne à l'infini.

Soit maintenant X = a Y 4- 6 l'équation d'une droite non parallèle à l'axe des X. La distance d'un point X, Y de la parabole à cette droite a pour expression

(^ —aY — b\ sinO VU- a"^4-2a cosô

elle grandit indéfiniment avec Y, quel que soit a. Donc la parabole n'a pas d'asymptote.

268. Équation du faisceau des asymptotes d'une hyperbole. — Si l'équation y (37, y) = o représente une hyperbole, nous avons vu que, en faisant varier le terme constant seul, les asymptotes ne changent pas et, de plus, si l'on donne à F une valeur Fi telle que A = o, l'équation

kx^-h 2B^j-H Cy--{- 2D^-i- "iEy h- Fi = o

sera précisément l'équation des deux asymptotes. Il en résulte que

sera l'équation cherchée si l'on détermine h de façon que le discriminant de

f{x, y, z) -\- ]iz^ soit nul, c'est-à-dire si

d'où l'on tire

l'équation du faisceau des asymptotes de l'hyperbole représentée par l'équation du second degréy(a7, y)— o est donc

On voit que les parallèles aux asymptotes menées par l'origine sont définies par l'équation

Ax^-h %Bxy -ir Cj2= o.

Application de la théorie des formes quadratiques à la classification des coniques et à la réduction de l'équation du second degré.