Nous posons

f{x^y, z)~ kx^-^%Bxy -\- C/^-j- •î.Dxz -h lEyz -h Fz^, © {x, y) = A.x^-^ "iBxy ■+- Gy"^,

et nous appelons, comme plus haut, A et 0 les discriminants des formes / et cp ; enfin nous supposons les coefficients réels.

Premier cas : S ^ 0. — Dans ce cas, ç (x, y) est la somme algébrique de deux carrés distincts. Posons, d'une manière générale,

o (x, y) = t{ccx-h ^yy+ z'ioc'x -H p»2.

s=rt:i, £' = =t:i.

Les deux polynômes ax -^ '^y et oi'x-{- ^'j étant indépendants, nous poserons (ji = a^' — ^a' ^ o.

On sait que 8 = es', [x^.

Je dis que l'on peut toujours déterminer trois constantes y, ^', Fy telles que

t{ax -f- ?7 -V- Y^)2+ z'iz'x + p> -h Yzy-\- Fiz^ = f(x, y, z). Il faut et il suffit, pour qu'il en soit ainsi, que

s.aY-Hs'.a'Y'= D, s. j3y + e'.p'Y' = E, sY^-f-e'f *-+- F, = F.

Les deux premières équations, dont le déterminant, égal à tt \>-, est différent de zéro, déterminent y et y'; la troisième donnera Fj.

23o CHAPITRE VIII.

Au moyen de la substitution

«37 -h Pjk H- Y- = X, rj! X -f- ^'y + y'x; = Y, dont le module est égal à [x, on obtient l'identité

et, par suite, ce qui donne

On obtient d'ailleurs ce résultat en remarquant que

et que, par suite, le discriminant du premier membre devant être nul, on a

A B D B G E D E F — Fi

Nous avons ainsi obtenu l'identité

/(a',j,z)^£X2-f-E'Y2+^Z^ de sorte que, en posant ^ = Z = i, il vient

/(•^,.r) = ^xf +s'Yf + ^,

Xi et Yi étant deux polynômes linéaires distincts en a? et y; par suite, les équations Xi = o, Yi = o représentent deux droites concourantes. Gela étant, nous subdiviserons le premier cas en plusieurs autres.

1° 6 > o. La fonction cp(a7, jk) est la somme de deux carrés de même signe, autrement dit, s = s'. D'ailleurs A = £(a2-+- a'2), G = £(p2| p'2); par suite, e, A et G ont le même signe. Il faut encore distinguer plusieurs cas.

(a) GA < o. Alors A et £ ont des signes contraires; on peut donc poser

h désignant une constante réelle, et, par suite,

et si enfin on pose -~ = P, -i = Q, l'équation f{x, ^) = o se trouve ramenée à la forme

(6) A = o. L'équation se ramène à la forme

>.' 0 < o. Dans ce cas, e et z' ont des signes contraires. Donc l'équation prendra la forme

si A 7^ O, et la forme

si A = O.

Second cas .-8 = 0 — Le polynôme ^{x, y) est un carré parfait, et, par suite,

/(r, y) = z{'xx -+- '^yY^ 7.hx -+- zEy -+- F.

Or on a, dans ce cas,

A ==£(aE - pD)2,

et, par suite, il faut faire plusieurs hypothèses.

(a) A ^ o. Les polynômes ax -{- ^y et iDx -h '>.Ey -i-F sont distincts; l'équation donnée est donc de la forme

P = o et Q = o représentant deux droites distinctes-

(6) A = o. Alors, Dx -h Ey ~ z^{<xx -+- ^y), y étant une constante ; l'équation a donc la forme

A^. r ) = K î^-^ + ?r -^ Y )' -+- Fi = o-

Supposons a jzè o et, par suite, A ^ o. On a identiquement

Ax^-^iDx -i-¥ = z{oix -h ^)--^Fi,

ce qui montre que AF — D^ a le signe de îF). Donc :

1° AF — D2 > o. Dans ce cas, on peut poser Fi = zh'-. 2° AF — D* < o. On posera Fi = — zh-. 3° AF — D2 ^- o. On a F, == o.

CtX M— 3 V } Y

Si enfin on pose — j^ = P, l'équation prendra respectivement les

formes P2+ 1 = 0, P2—I = 0, P2 = o.

En résumé, l'équation /(;r, ^) = o peut prendre les formes indiquées dans

le Tableau suivant

CA<o

P2-HQ2— (==0,

CA>o

[ D2— x\F>o A 7^0 1 D2— AF<o

( D2- AF = o