Cela posé, soient

P = aa; -t- Pjk + Y' Q = ^'^ + P'r ^- ï'

deux polynômes distincts. Prenons pour axes les droites définies par les équations P =: o, Q = o. Les formules de transformation étant linéaires, si l'on désigne par X, Y les nouvelles coordonnées, on obtiendra identiquement

P = /X + mY + «.

Mais, si l'on suppose que l'équation P = o représente le nouvel axe des y, l'équation X = o devant représenter la même droite que P = o, ou, ce qui revient au même, que ZX -+- /nY h- rt = o, on a m = n = o et, par suite, P s= ZX; on trouvera de même Q = l'Y.

271. Il est évident que l'équation P^-i- Q2-f- 1 = o n'a aucune solution réelle; l'équation (3) représente deux droites imaginaires conjuguées. L'équation (5) représente deux droites concourantes réelles; l'équation (7), deux droites parallèles réelles; l'équation (8), deux droites parallèles imaginaires, et enfin l'équation (9) deux droites confondues en une seule.

Occupons-nous de l'équation (r). En prenant pour axes de coordonnées les droites P = o, Q = o, nous poserons

ce qui donne l'équation

En discutant cette équation, comme on l'a déjà fait plus haut, on voit Qu'elle représente une courbe fermée; c'est une ellipse.

Nous dirons que l'équation (-2) représente une ellipse imaginaire. L'équa-

COURBKS DU SECOND DEGKÉ. 233

lion (4) se ramène à la forme

X2 Yj!

elle représente une hyperbole.

L'équation (6) peut se ramener à la forme

elle représente une parabole.

On retrouve les conclusions déjà obtenues.

272. Remarque. — On peut déterminer autrement la forme de la courbe représentée par l'une quelconque des équations précédentes. Pour cela, remarquons d'abord que P = o étant l'équation d'une droite donnée, les équations P = A et P = — h définissent deux droites parallèles et équidistantes de la première. Si h varie de o à 4-a), P — h = o représente une droite variable qui reste constamment parallèle à la première, mais s'en éloigne indéfiniment.

Cela étant, soit à construire la courbe définie par l'équation

En écrivant