ax'--~ yxy-i-3y^— Qx^ yy^/i^o

5. liX- — iixy -\- C)y^-\- 4.3? — 5^+3 = 0, 6- ^x'^' — i'i.xy-^i^y'^ — 8a:- + 12^ — 7—0.

7. Discuter la nature de la conique représentée par l'équation

(a — \)x'^-\- ■i'^xy — (a + i)jK-+2aa?-4-7. 3jK — (a-f-i) — o, a et p désignant les coordonnées d'un point M variable dans ce plan.

8. On donne dans un plan un angle ROR', un point A sur la bissectrice Ox de cet angle et deux points fixes R, R' symétriques par rapport à Oa:-.

On mène par le point A une droite quelconque qui rencontre OR en G et OR' en G'; on mène les droites RG, R'G' qui se coupent en M. Lieu de M quand la droite GAG' tourne autour de A. On discutera le lieu en laissant fixes les droites OR, OR' et le point A, et en déplaçant R et, par s-uite, R'. On indiquera dans quelle région doit être le point R pour que le lieu soit une ellipse, une hyperbole, une parabole ou l'une de leurs variétés (École Gentrale, 1876).

9. Par les extrémités d'une corde AR inscrite dans un cercle, on mène des parallèles à des directions données. Lieu de leur point de rencontre : i" quand la corde AR a une direction fixe; 2" quand elle a une longueur constante.

10. Un polygone de n-l-i. côtés varie de manière que n de ses sommets restent constamment sur une circonférence donnée et que ses côtés soient respectivement parallèles à des directions fixes. Trouver le lieu du (/z -h i)'*"" sommet.

Directions asymptotiques d'une courbe algébrique. 273. Soit

l'équation d'une courbe algébrique G. Soient Xq^ y^ les coordonnées

d'un point A et a, ^ celles d'un point D; nous savons que les formules

(2) ar = .ro-hap, y=yQ-+-i^p

représentent les coordonnées d'un point M situé sur la droite AB, parallèle à OD; ce point sera l'un des points d'intersection de la courbe C et de la sécante AB, si l'on remplace p par l'une quelconque des racines de l'équation

ou, en développant,

(3) p""f ,„(a, P) 4- p— [:ro^' -f-jo ^J^" + ?,«-.(«, P)] +. - • - o.

Pour que le point M soit à distance finie, il faut et il suffit que p ait une valeur finie; au contraire, si la valeur de p grandit indéfiniment, l'un au moins des paramètres a ou p, étant différent de zéro, l'une au moins des coordonnées de M grandit indéfiniment et, par suite, le point M s'éloigne indéfiniment du point A. Cela étant, pour que l'équation (3) ait une racine infinie, il faut et il suffit que o,„(a, ^) = o, c'est-à-dire que la sécante AB soit parallèle à l'une quelconque des droites du faisceau ayant pour équation

L'équation (4) représente m droites passant par l'origine, réelles ou imaginaires, distinctes ou non. Si, par un point quelconque A, on mène une sécante parallèle à l'une quelconque de ces droites, cette sécante ne coupera la courbe C qu'en m — i points, au plus, à distance finie; tandis qu'une sécante qui n'est parallèle à aucune de ces droites rencontre C en m points situés tous à distance finie de A.

Les directions singulières, définies par l'équation (4), ont reçu le nom de directions asympto tiques. Toute courbe algébrique de degré m possède m directions asymptotiques; on obtient l'équation du faisceau des directions asjmptotiques en égalant à zéro l'ensemble homogène des termes du plus haut degré de l'équation de la courbe.

Considérons une solution simple a, ^ de l'équation (4), c'est-à-dire une so-

lution telle que les dérivées —~— , —77^ ne soient pas nulles toutes les deux ,

^ da dp '

l'équation

représente une droite A déterminée et parallèle à la direction (a, P), car

Si le point A est sur cette droite, la parallèle à la direction (a, P) menée par A sera la droite A elle-même; l'équation (3) sera au plus du degré m — 1, et, par suite, la droite A coupe la courbe C au plus en /w — 1 points à distance finie.

Considérons une droite A' infiniment voisine de A; cette droite A' coupe la courbe G en ni — i points à distance finie; lorsque A' coïncide avec A, le nombre des points d'intersection à distance finie diminue encore, au moins d'une unité; cela revient à dire qu'un point M de la courbe C disparaît à l'infini; la distance de M à la droite A, égale à la distance des droites A et A', tend vers zéro; la droite A est donc une asymptote. Cette remarque justifie le nom de directions asymptotiques donné aux directions singulières définies par l'équation (4).

274. Application aux courbes du second degré. — Considérons en particulier une courbe du second degré représentée par l'équation

kx'^-k- iMxy -\- C^2| 2Da7-t-2EjK-l-F = o.

Le faisceau des directions asymptotiques est défini par l'équation

A 37^ -I- a B xy -h Cj2 = o,

qui représente deux droites, dont la nature est caractérisée par le signe de l'invariant AG — B^. Il j a Irois cas à distinguer :

1° S >■ o (genre ellipse) : Les directions asymptotiques sont imaginaires conjuguées.

2° S <; o (genre hyperbole) : Deux directions asymptotiques, réelles et distinctes. Ces directions sont celles des asymptotes.

3" S = o (genre parabole) : Deux directions asymptotiques confondues. Si A ^ o, la direction asymptotique est définie par l'équation kx -^ By = o; quand C ^ o, on peut la définir par l'équation B;r -\- Cy = o.

Réciproquement, si l'on connaît la nature des directions asym-

ploliques d'une courbe du second degré, on sait à quel genre elle appartient.

Nombre des points communs à deux courbes algébriques.