Soient

^i) /(•2",7) = o, ff{x,y) = o

les équations de deux courbes algébriques de degrés m et p. Les coordonnées des points communs à ces deux courbes sont les solutions du système formé par leurs équations.

En éliminant l'une des inconnues, ce par exemple, entre les équations (1), on obtient une équation de degré mp en j',

que l'on appelle V équation aux ordonnées des points communs aux deux courbes. A chaque racine simple jKo de l'équation (a) correspond une seule racine Xq, commune aux équations

et, par suite, un seul point (.a^o, jKo) commun aux deux courbes.

Si les coefficients des polynômes f{x,y), g(Xiy) ont des valeurs arbitraires, l'équation (2) n'aura que des racines simples, puisque la condition pour que cette équation ait des racines égales s'obtient en égalant à zéro le discriminant du poljnome B.(jk) rendu homogène, et cette condition établit une relation entre les coefficients des polynômes y et g. De même, pour que le coefficient de y'^P dans R(j') soit nul, il faut que le résultant des groupes homogènes de degrés m et p respectivement, appartenant aux polynômes /(a:, j^) et g{x,y)t soit nul; dans ce cas, ces groupes homogènes ont un diviseur commun olx -h ^j^ et l'équation olx -j- '^y = o définit une direction asymptotique commune aux courbes données. Pour qu'il en soit ainsi, il faut encore qu'il existe une relation entre les coefficients de /et de g. On peut donc conclure de ce qui précède que : deux courbes algébriques de degrés m et p ont, en général, mp points communs, à distances finies.

Lorsque les deux courbes données ont des directions asjmptotiques communes, quelques-uns de leurs points communs peuvent

238 CHAPITRE Vlll.

être à l'infini. 11 peut arriver encore, en attribuant aux coefficients des valeurs particulières, que deux ou un plus grand nombre de points communs se réunissent. Enfin, il peut se faire que les poljnomes f et ^ se décomposent et aient un facteur commun; dans ce cas, le nombre des points communs aux courbes représentées par les équations (i) est infini.

276. Cas de deux courbes du second degré. — Nous avons discuté complètement le système de deux équations du second degré à deux inconnues x^y {Cours d^ Algèbre, t. II, p. 3 17). Il résulte de cette discussion que deux courbes du second degré distinctes ont quatre points communs au plus, à moins qu'elles ne se décomposent chacune en un système de deux droites et que, de plus, une même droite fasse partie des deux systèmes. Dans ce dernier cas, l'intersection des deux coniques se compose de tous les points de la droite commune et, en outre, du point commun aux deux autres droites.

La proposition précédente peut d'ailleurs être établie d'une manière dïrecte.

Soient

f{x,y)ss A x^ -\- 2B xy -+- Cy^ -+■ -iB x -h iE y -\- F =0, /i(^j J') — A'a72-f- iB'xy -+- C'y^-+- 2!)' x -h lE'r + F' :::= o

les équations des deux coniques données, et (a^oj^^^o) l^s coordonnées d'un point A qui leur soit commun. Les quantités Xo-+- ap, yo-h pp seront les coordonnées d'un point commun aux deux coniques, si l'on remplace p par une racine commune aux deux équations

f(xo-h<xp, jKo-H pp) = o, ffi^o-^ ap, JKO-+- |3p) = o,

c'est-à-dire

p2(Aa2-i-'2Ba;iJ + Gp2)

-+-2p [a(Aa7o-l-BjKo-+- D) -{- P(Ba7o-+- Gyo-hE)] — o, p2(A'a2-f-2B'a^-l-C'132)