ap [a(A'^o+ B>o4- D') + P(B'^o+ G>oH- E')] = o
Ces équations ont une solution commune p = o, qui correspond au point A ; pour qu'elles en aient une autre, il faut et il suffit que a, ^ vérifient l'équalion
COUKBES Dli SECOND DEGRÉ. 289
Cette équation est du troisième degré; si l'on y remplace a et p par des coordonnées "courantes, elle représente un faisceau de trois droites passant par l'origine Dj, Dj, D3. Si l'on mène par le point A une sécante qui rencontre la première conique aux points A, M et la seconde aux points A, M', les deux points M, M' se confondront en un seul si la sécante est parallèle à l'une des trois droites Dj, D2, D3; ce qui montre que les coniques proposées ont en commun, outre le point A, trois autres points Mj, Mj, M3.
Mais il peut arriver que l'équation précédente se réduise à une identité, de sorte que toute sécante menée par A coupe les deux coniques en un point commun, généralement différent de A : s'il en est ainsi, le facteur
qui divise le premier membre, doit diviser le second; il peut arriver doux cas : 1° Ce facteur divise le facteur de même nature
dans ce cas, on le voit immédiatement, les coefficients des polynômes/ et /i sont proportionnels et les deux coniques sont confondues; écartons ce cas. •2" On a identiquement
On en conclut que
et, par suite, l'équation y ( .r,j') = o est de la forme
( mx -H ny -+- h ) (ax -{- by -\- c) — o,
et, pareillement, l'équation /i(j', ^) = o est
{mx -(- ny -\- h){a'x -f- b'y -t- c') = o.
Les deux coniques se composent donc alors de droites, l'une des droites leur étant commune.
277. Quand les équations des deux courbes données ont leurs coefficients réels, à toute solution x^^=.a-\- bi^ J"» = «'+ h' i^ correspond la solution conjuguée x.>-= a — 6/, y.,z=a' — b'i.
et
2£jO CllAniTiE YIII.
Donc, quand deux courbes algébriques, dont les équations sont à coefficients réels, ont un point imaginaire commun, elles ont aussi en commun le point imaginaire conjugué.
278. Former V équation du faisceau des droites joignant un point donné aux points communs à deux courbes algébriques. — Soient
les équations de deux courbes algébriques; {a,b,c) les coordonnées d'un point donné P; (x,j, z) celles d'un point variable M. Les coordonnées d'un point de la droite PM sont proportionnelles à X -\- Xa, y H- \b^ z -\- Xc. Pour que PM passe par l'un quelconque des points communs aux deux courbes données, il faut et il suffit que X soit une racine commune aux deux équations
/(a? + X«, jK -}- Xè, ;: -+- Xc) = o, ^(^ -(- Xa, j'-i- X6, s 4- Xc) = o.
On obtiendra donc l'équation du faisceau des droites joignant Je point P aux points d'intersection des deux courbes, en éliminant \ entre les deux équations précédentes.
En particulier, supposons que le point P soit l'origine des coordonnées (ou, s'il s'agit de coordonnées trilinéaires, que P soit le point commun aux deux côtés ^=ro,jK = o du triangle de référence); en posant a^o, ^ = o, c=: i, les équations précédentes deviennent
on devra éliminer \ entre ces deux équations; cela revient évidemment à éliminer z entre les équations des deux courbes.
En particulier, si l'on considère la droite ayant pour équation
ux -t- vy = z, l'équation
f{x, y, ux -\- vy) = o
est celle du faisceau des droites joignant l'origine aux points d'intersection de la droite considérée avec la courbe/.
On peut dire que l'équation '-^mix, y) = o, qui détermine les di-
rections asjmptotiques de la courbe /, représente le faisceau des droites joignant l'origine aux points d'intersection de la courbe avec la droite de l'infini.
279. On appelle centre d'une courbe plane un point fixe P situé dans le plan de la courbe et tel que, M élant un point quelconque de la courbe, le point M', symétrique de M par rapport à P, soit encore un point de la même courbe.
280. Conditions pour que l'origine des coordonnées soit centre d'une courbe représentée par l'équation f(x,y) = o. — Si le point M a pour coordonnées ûCo, }'o, le point M' symétrique de M par rapport à l'origine a pour coordonnées — Xqi — J'o 5 donc, pour que l'origine soit un centre de la courbe représentée par l'équation /(•^) y) ^ ^■> ^^ ^^^^ ^^ '^ suffît que les deux équations
/(^.7) = o et /i—x,—y) = o
soient identiques.
Ainsi, par exemple, l'origine est un centre de la courbe ayant pour équation j' = sin^.
Supposons qu'il s'agisse d'une courbe algébrique ayant pour équation
(l) ^m{x,y) + 0,n-i(x,y) •+-,..-+-C3i(a7,7) + tf0 = O,
et considérons une droite quelconque passant par l'origine, ayant pour paramètres directeurs a, ^. Les points de rencontre de cette droite et de la courbe sont définis par les équations ^ = ao, jv' = l^^j
NlBWENQLOWSKI. — G. an., I. i6
OÙ l'on remplace p par chacune des racines de l'équation
(2) p'"?/n(a, P)-t-p'"-'?m-i(a, p)-4-...-4-pcpi(a, P) + cpo = o.
Pour qu'à chaque point d'intersection M corresponde un point d'intersection M' symétrique du premier par rapport à l'origine, il faut et il suffit que les racines de l'équation (2) soient deux à deux égales et de signes contraires, et cela doit avoir lieu quelles que soient les valeurs de a et [3. (Il convient de remarquer que, si l'un des points M s'éloigne indéfiniment quand la sécante tourne autour de l'origine, le point symétrique M' doit aussi s'éloigner indéfiniment et, par suite, deux racines de l'équation en p, égales et de signes contraires, grandissent indéfiniment.) Cela posé, pour qu'à toute racine de l'équation (2) corresponde une racine égale et de signe contraire, il est nécessaire et suffisant que le premier membre ne contienne que des puissances de p de même parité, et, par suite, de la même parité que m; en d'autres termes, il faut que
?/n-i(a, P) = o, cp,;^3(a, P) = o, ....
ce qui revient à poser
de sorte que l'équation de la courbe sera de la forme
«?/« (^, y) + ?/«-2 {x, y) -f- c?,rt-i (a;, 7) -+-... = o.
En second lieu, il est évident que l'origine est un centre de toute courbe dont l'équation est de cette forme.
Il résulte de là que, si m est impair, l'équation ne contiendra pas de terme constant. Donc, tout centre d'une courbe de degré impair est un point de cette courbe.
281. Théorème. — Si une courbe plane a deux centres C, C, elle en a une infinité situés sur la droite CC; si une courbe a trois cejitres non en ligne droite, elle en a une infinité formant un réseau de parallélogrammes.
Soient G, G' deux centres d'une même courbe {fig. 82) et M un point quelconque de cette courbe. Gonstruisons le point M', symétrique de M par rapport à G', et le point M", symétrique de M' par rapport au centre G, et enfin M'", symétrique de M" par rapport à G'. Le point M'" appartient à la
courbe donnée; or, on voit aisément que le milieu de MM'" s'obtient en construisant le segment G'G" éfifal au segment CC, de sorte que le point G" est un point fixe. Or, à tout point M de la courbe correspond un point M'" symétrique de M par rapport à G* et appartenant à la même courbe; donc, G* est un centre. Il résulte de là que la courbe donnée a une infinité de centres situés sur GG' et distribués uniformément sur cette ligne.
Supposons maintenant trois centres en ligne droite rangés dans l'ordre suivant :
G, G', G*. Si les segments GG' et GG" ont une commune mesure, ce cas se ramène au précédent et la courbe a une infinité de centres distribués uniformément sur GG', la distance de deux centres consécutifs étant égale à la plus grande commune mesure de GG' et GG".
Soit, en eiïet, a la plus grande commune mesure des deux longueurs GG', GG' et supposons GG'= ma, GG"= na\ m et n sont premiers entre eux. En prenant sur la droite GG' un nombre x de segments égaux à GG' et un nombre y de segments égaux à GG", on obtient deux centres P et Q dont la distance est égale à | xma — yna \ ; or on peut déterminer deux entiers x &\. y tels que mx — /i^=±i; donc les points P et Q correspondants se trouveront à une distance égale à a et, par suite, les centres donnés feront partie d'une suite de points distribués uniformément et tels que la dislance de deux points consécutifs sera égale à a; tous ces points seront des centres.
Supposons maintenant que GG' et GG" n'aient aucune commune mesure ; posons GC' = a et GG"= h. On peut trouver deux entiers x etjK tels que ax — by soit moindre qu'une longueur donnée aussi petite qu'on veut; en portant, à partir du point G, une longueur GP = ax et une longueur CQ = hy, on aura donc deux centres P, Q aussi près qu'on voudra l'un de l'autre. On en conclut que, dans ce cas, en général, tous les points de la droite GG' sont des centres.
Gonsidérons enfin {fig. 83) trois centres A, B, G appartenant à une même courbe et non situés en ligne droite. Soit M un point de la courbe; si l'on construit successivement le point M' symétrique de M par rapport à A; M* symétrique de M' par rapport à B, et M'" symétrique de M" par rapport à G, on reconnaît aisément que le quatrième sommet D du parallélogramme construit sur BA et BG est le milieu de MM'"; d'où l'on conclut que D est un quatrième centre. Gela étant, si l'on prend AE = BA,
E est un centre; donc, le quatrième sommet du parallélogramme construit sur AE et AD est un nouveau centre et, par suite, en continuant indéfiniment
Fig. 83.
ce raisonnement, on voit que la courbe a une infinité de centres distribués dans le plan aux sommets d'un réseau de parallélogrammes.
282. Recherche du centre. — Pour chercher si une courbe donnée a un centre, on transporte l'origine des coordonnées en un point inconnu (^o»^o) ^n posant x^Xq-\-^, y = y^-\-Y^ et l'on cherche si l'on peut déterminer x^ et j"o de manière que la nouvelle origine soit un centre, c'est-à-dire, si la courbe est algébrique et de degré m, de manière que les degrés des termes de la nouvelle équation en X et Y soient de la même parité que m; pour cela, on égalera à zéro les coefficients de tous les termes dont les degrés sont respectivement égaux km — i, m — 3, ....
Les équations obtenues ainsi sont généralement incompatibles si l'on suppose m ]> 2; en effet, soit m = 2[x; en annulant les coefficients des termes de degrés i , 3, . . . , 2 jx — i , on forme [ji(ijl + i) équations entre o^OîjKoet les coefficients de l'équation proposée; il y
aura donc, en gênerai, jji(u+ i) — 2 ou ~ conditions. 01
m =2, ce nombre se réduit à zéro.
Soit, en second lieu, m = 20.+ i; il faut alors annuler les termes de degrés o, 2, . , . , 2[jl; ce qui donne
