BE --CD BD — AE

^ ~ ÂG^TBi" ' ^ ~ AG-B2 '

Si l'on désigne par a, b, c, . . ., f les mineurs du discriminant A, de sorte que

a = CF-E2, b = DE-BF, ..., f=AC-B2=o,

les coordonnées homogènes du centre sont d, e, 8.

2* 8 = 0. CiC cas se partage en deux autres. Nous savons que l'un au moins des coefficients A ou G est différent de zéro. Supposons A^z^o; alors le déterminant caractéristique du système (1), (2) est AE — BD.

(a) ÂE — BD^o. Les droites (i) et (2) sont parallèles; donc, la parabole n^a pas de centre. Mais, comme les équations qui déterminent le centre définissent, dans ce cas, deux droites parallèles, on convient de dire que la parabole a un centre unique à V infini. D'ailleurs, les coordonnées homogènes du centre de la parabole sont d, e, o. Le centre est à l'infini dans la direction asymptotique ; toute droite menée par le centre, c'est-à-dire toute parallèle à la direction asymptotique, ne coupe la parabole qu'en un seul point à distance finie.

Il convient de remarquer que la droite représentée par l'équation (2) peut être à l'infini ; ce qui arrive si B --= C = o.

(b) AE — BD = o. Dans ce cas, les droites représentées par les équations (1) et (2) sont confondues en une seule et, par suite, tous

les points de la droite

Ax -\- By + D — o

sont des centres. Dans ce cas, on sait que A = o; l'équation y(^,j^) = o représente deux droites parallèles équidistantes de la droite (1).

Il convient de remarquer que l'équation (2) peut disparaître identiquement, car on peut supposer B = G==^E=:o; ces conditions donnent en efFet : A G — B- = o et AE — BD rrr; o.

On peut vérifier par la Géométrie le résultat que nous venons d'obtenir. En effet, supposons que tous les points de la droite AB {/fff- 84) soient des centres et soit M un point de la conique représentée par l'équation y(a7, jk) = o; le lieu des symétriques de M par rapport aux différents points de AB est une droite CD parallèle à AB; la droite CD fait partie de la conique. Soit M' un point de CD; le lieu des sy. métriques de M' par rapport aux différents points de AB est une parallèle à AB qui passe d'ailleurs par le point M. On en conclut que l'équation /(a^, ^) = o représente le système des deux droites parallèles CD, EF.

D'ailleurs on a, par hypothèse, AC — B' — o, AE — BD = 0, A ^^ o; donc, si l'on pose B = XA, on en déduit C — X^A, E — XD et, par suite,

/(•^> j'j = A(a?2-+- -iXxy -i- X2j2) -h -iD (x -h Ij^) -h F .

[/équation donnée est donc la suivante :

A {x -h lyy- -h 9.D (x -h ly) -l- F == o, ce qui donne

x+Xy= -^

On a donc bien deux parallèles équidistantes de la droite ayant pour équation

Ax -\- B 7 ->- D — o .

1284. Résumé. — Les courbes du second degré peuvent être rangées en trois classes :

1° S ^ o. Courbes ayant un centre unique à distance finie . — Ellipse, hyperbole et leurs variétés.

THÉOniE DU CEMRE. 2.^l7

a° S = o , A p^ o , AE — BD ^ o. Courbes ayant un centre unique à r infini. — Parabole proprement dite.

3° 0 = 0. Coniques ayant une ligne de centres. — Système de deux droites parallèles ou une droite dou])le.

285. Problème. — Une courbe du second degré à centre étant rapportée à deux axes quelconques, la rapporter à deux axes parallèles aux premiers et passant par son centre [ou par Vun des centres).

1° Supposons d'abord qu'il s'agisse d'une courbe à centre unique; ^0? J"o étant les coordonnées du centre nous avons trouvé, en posant x = Xq + ^, y=yo -\-y,

puisque la nouvelle origine estun centre. Il s'agit de calculery*(^o,jKo ^ que nous désignerons par F^ pour abréger l'écriture. L'identité d'Euler

■if(x, y, z) = ^fx^yfy^ ^fz^ dans laquelle on pose x^=^ x^., y = j'«, ^ = i , donne

Pour obtenir F, en fonction des coefficients, considérons le système linéaire

Bjo + D

Ba:-o-i-

Cjo+E

On en déduit

Ejo+F- B D

d'où

On arrive au même résultat en remarquant que le discriminant de

/(jc, y, z) — F, z^ doit être nul.

L'équation transformée est donc

AXî-t-îBXY-hCY*

On n'oubliera pas que les termes du second degré ont les mêmes coefficients que dans l'équation primitive. La relation

A = 8(D;ro-HEjKo+F)

permet souvent de calculer A d'une manière commode.

2° Supposons maintenant que l'équation y(^, y) = o représente deux droites parallèles. Le calcul précédent est en défaut, car A et 8 sont nuls; mais la formule

Fi = Da7o-f-E7o4-F

subsiste, Xq, y^ étant les coordonnées de l'un des centres, que l'on prend pour nouvelle origine. On peut, dans ce cas, procéder ainsi :

l'identité

/(:r,^,z)^cp(X,Y)+F,

ou, sous forme homogène,

montre que le premier membre est un carré parfait, puisque S = o. Donc, tous les mineurs du discriminant du premier membre sont nuls, ce qui donne les conditions suivantes

^^»=^' ^^^ = ^' '^^^^-ijÊ'

d'où

(A-+-G-2Bcose)Fi= ^-t-^ +^ cosG.

oA oLi OD

Le coefficient de F< est différent de zéro quand les coefficients sont

réels; donc

Fi=

286. Généralisation de la théorie du centre. — Etant donnée une équation de degré supérieur à 2, f{oc,y) = o, il est naturel de se demander si les points communs aux. courbes définies par les équations

dx ^ dy

jouissent de quelque propriété remarquable.

Si par le point (^oj /o) on mène une droite dont la direction est définie par

THÉOR[E DU CENTRE. 2^9

les deux paramètres a, p, les points communs à cette sécante et à la courbe donnée sont déterminés par l'équation /(a^o -+- ap, yo-{-^p) = o, ou, en développant,

àf àf . , . ,

par conséquent, si Ion suppose -^ =o, - — = o, la somme des inverses des ra-

cines de l'équation en p est nulle quels que soient a, [3. Donc, si l'on désigne par A le point (a7o,jKo) et par Pi, P2, . . ., Pm les points d'intersection d'une sécante quelconque menée par A avec la courbe, on aura

Il I

AP, ^ ÂF2 ^* • -^ ÂP7, " ""'

ce qui exprime que le point A est le conjugué harmonique du point à l'infini sur la sécante, par rapport aux points d'intersection de cette sécante avec la courbe, et cela, quelle que soit la direction de cette sécante.

Quand la courbe est du second degré, dire que la somme —ç- -(- -rr-p- = o

revient à dire que A est le milieu de PiPj.

EXERCICES

i. Trouver les centres de la courbe ayant pour équation a sinar = h ûwy.

2. Trouver les centres de la courbe ayant pour équation a cosx-{-b cosy — o.

3. Trouver le lieu des centres des coniques ayant pour équation

(4^— 3^) (j — 3) + m(j^ — 3) (9.7— 3^7) = o, lorsqu'on fait varier m. (École Centrale, 1872.)