Lieu des centres des coniques représentées par l'équation

x^- — k {\ — k) xy -\- k^y"^ — ak'^y = o quand on fait varier k. (École Centrale, 1864.)

5. On donne un triangle ABC. D'un point quelconque P pris sur le côté AB, on abaisse PQ perpendiculaire sur AC; on mène les droites BQ et CP qui se coupent en M.

i" On demande le lieu du point M quand le point P parcourt la droite indéfinie AB.

2° Les droites indéfinies AB et AC restant fixes, on fait tourner la droite BG autour d'un point fixe H pris sur cette droite, et on demande le lieu du centre du lieu précédent. (École Centrale, 1866.)

287. On nomme diamètre conjugué à une direction donnée le lieu des milieux des cordes d'une courbe donnée, qui sont parallèles à cette direction.

Supposons la courbe algébrique et de degré m-, une sécante la coupera, en général, en m points distincts et, en combinant ces points

deux a deux, on obtient cordes; il y aura donc, sur une

droite parallèle à la direction donnée, ■ points du lieu; le

diamètre est donc, en général, une courbe de degré ; • Dans

le cas du second degré, ce sera une droite.

288. Méthode générale. — Soient (a7,j) les coordonnées d'un point M, (a, P) les paramètres de la direction donnée; les coordonnées d'un point pris sur la sécante menée par M parallèlement à la direction (a, P), ont pour valeurs a7-4-ap, y -i- '^p ; pour que ce point appartienne à la courbe ayant pour équation

il faut et il suffit que

f(T-\- ocp. y -H P?) = o.

[Nous appellerons désormais, pour abréger, cette équation : l'équation aux p des points d'intersection de la courbe f et de la sécante issue du point {x,y) et de direction (a, P)].

L'équation précédente étant mise sous la forme

(l) Cp(p2)-f-pi5;(p2) = 0,

soient p', p" deux racines auxquelles correspondent les points d'intersection P', P"; pour que M soit le milieu de P'P", il faut et il suffit que p'-f- p" = o. Il s'agit donc d'exprimer que l'équation (i) a deux racines égales et de signe? contraires.

THÉORIE DES DUMÈIRES. 25 1

Or, des égalités

?(p'*)-^P''Kp'*) = o>

ç(p"-')-p'<{;(p'*) = 0, on tire

Cp(p'2)=rr(). p''!/(' p'2) = O

et, en supposant p' p£ o,

Donc, en posant p- = /, les deux polynômes o{t), <]^(0 doivent avoir un diviseur commun. On est ainsi conduit à éliminer t entre les deux équations