Exemples. — i" La courbe a pour équation

y = T\ L'équation (i) en p est

les équations (2) sont donc les suivantes

a3/ -4- 3ajf2— |3 = o, 3%'-r( -+- x^ — y — o,

et, en éliminant /, on obtient l'équation

2" Li'eK rfe* milieux des cordes parallèles à la droite

dans la courbe ayant pour équation

x^ -{- y^ — ar = o.

Nous ferons a = 1 , ^ = — i; l'équation (i) devient ainsi

3p*(ar -i-j) -f- p(3:r2— 'Sy^ — i) -f- x'^-\-y^— x = o.

Dans ce cas particulier, nous pouvons procéder autrement. Supposons d'abord X -h y ^ o. La condition pour que l'équation précédente ait ses racines égales et de signes contraires est

(3) 3;cî— 3^2 — I = ô.

Si l'on considère en second lieu un point pris sur la sécante particulière ayant pour équation

l'équation en p s'abaisse au premier degré; celte sécante coupe donc la courbe

proposée en un seul point à distance finie et en deux points à l'infini; le milieu du segment formé par ces deux points étant indéterminé, cette sécante peut être considérée comme faisant partie du lieu.

On peut donc dire que le lieu se compose de l'hyperbole représentée par l'équation (3) et de la droite représentée par l'équation (4).

Remarquons que toute sécante parallèle à la direction donnée ne rencontre la courbe proposée qu'en deux points à distance finie et en un point à l'infini. Jl n'y a donc qu'un point du lieu à distance finie sur cette sécante. C'est ce que l'on vérifie en remarquant que l'hyperbole trouvée a une asymptote parallèle à la direction donnée.

Diamètres des courbes du second degré.

290. Soient (a, ^) les paramètres d'une direction OD et M {a:, y) un point; l'équation aux p des points d'intersection de la sécante menée par M parallèlement à la direction donnée et de la conique représentée par l'équation f{x^ j) = o est

(0 p'^i^,?) + ?i^A+ n'y) -^fi^.y) = 0.

1® 'j>(a, [3)^0. La direction donnée n^ est pas une direction asymptotique de la conique. — Pour que le point M (^, y) soit le milieu de la corde parallèle à la direction donnée et passant par M, il faut et il suffit que les racines de l'équation (i) soient égales et de signes contraires et, par suite, que x ely vérifient l'équation

Je dis que l'équation précédente, dans laquelle x ely sont regardées comme des coordonnées courantes, définit une droite déterminée et à distance finie. En effet, cette équation peut s'écrire ainsi

ao^ + P^p^.-f- 2 D a -1- 2 E p = o, ou encore

(3) a^'p^-i-jcpg-f- 2Da + aEp = o.

On ne peut supposer

car on en déduirait ou

ce' = o et o',, = o, ç(a, P) = o,

ce qui est contraire à notre hypothèse. L'un au moins des coefficients de X ou de y étant différent de zéro, la droite représentée par l'équation (3) est à distance finie. D'où cette proposition :

Dans une courbe du second degré, à toute direction non asymptotique correspond un diamètre déterminé.

2° çp(a, P)^o. Les cordes sont parallèles à une direction asymptotique. — L'ellipse n'ayant que des directions asymptotiqucs imaginaires, laissons de côté le cas où la conique serait une ellipse et supposons que ce soit une hyperbole. Je dis d'abord que l'équation (2) représente encore une droite à distance finie. En efTet, pour qu'il en soit autrement, il faut que l'on ait

Aa-i-Bp = o, Ba + G!3 = o,

ce qui ne peut avoir lieu, puisque l'on suppose AC — B- ^ o et que l'on attribue à a et ^ des valeurs non toutes deux nulles.

Gela posé, il s'agit d'interpréter géométriquement l'équation (2). Soit M un point de la droite qu'elle représente; l'équalion en p qui correspond à ce point se réduit à son terme constant f[x, y); d'ailleurs, ce terme constant ne saurait être nul, sans quoi, l'équation en p disparaissant, tous les points de la sécante considérée appartiendraient à la conique qui se décomposerait en deux droites et cela est contraire à notre hypothèse. La droite A représentée par l'équation (2) est donc le lieu des points M tels que toute sécante MM' menée par M parallèlement à la direction (a, |3) rencontre l'hyperbole en deux points à l'infini. 11 en résulte immédiatement que la droite A est parallèle à la direction asymptotique (a, [^), car tout point M' de la sécante MM' jouit évidemment de la même propriété que le point M et, par suite, se trouve sur A, ce qui exige que cette droite se confonde avec MM'. C'est ce que l'on vérifie par le calcul, car la condition pour que la droite A soit parallèle à la direction (a, P), est aa^+^cps=o, ou '-p(a, P)^o, et celte condition est remplie par hypothèse.

En résumé, l'équation (2) représente, dans le cas qui nous occupe, une droite de direction (a, P) qui ne rencontre l'hyperbole qu'à l'infini; cette droite n'est pas autre chose qu'une asymptote.

Il est facile d'expliquer comment une asymptote peut être regardée comme le lieu des milieux des cordes de l'hyperbole, qui lui sont parallèles. En effet,

une sécante parallèle à celte asymptote coupe la courbe en un point situé à distance finie et en un point à l'infini; le milieu de la corde correspondante est donc à l'infini : c'est le point à l'infini de l'asymptote considérée. Supposons maintenant que la sécante vienne se confondre avec l'asymptote : ses deux points d'intersection avec l'hyperbole sont à l'infini; le milieu de la corde est alors indéterminé et l'on peut dire que tout point de l'asymptote est un point du lieu. Pour s'en assurer, il suffit de mener par un point quelconque A de l'asymptote une sécante qui rencontre l'hyperbole aux deux points P, Q et la seconde asymptote au point R; nous savons (iG6, 2°) que le milieu de PQ est confondu avec le milieu de AR. Cela étant, si la sécante tourne autour du point A et vient se confondre avec l'asymptote OA, le milieu de AR aura pour limite le milieu M de OA, O étant le centre de l'hyperbole; A étant un point arbitraire, le point M peut aussi être considéré comme arbitraire et la proposition est établie.

Si l'équation y (;r, jk) =^ O représente deux droites concourantes, on vérifiera facilement que, si (a, |3) sont les paramètres directeurs de l'une de ces droites, l'équation (2) représentera précisément cette droite elle-même.

291. Cas de la parabole. — L'équation d'une parabole peut se mettre sous la forme

{ax -\- by-y -\- %!) X -^ 1 Ey -t- F = o ;

les paramètres de la direction asymptotique sont déterminés par

l'équation

aoL + ôp = o.

Supposons d'abord a a + 6 ^ ^ o. Le diamètre conjugué à la direction (a, j3) a pour équation

{ax -+- by) {aoL -j- 6^) --i- Da -{- E ^ = o;

donc, dans la parabole, tous les diamètres sont parallèles à la direction asymptotique.

Supposons, en second lieu, aa-h6[3 = o; la droite représentée par l'équation précédente est rejetée à l'infini; ce qui s'explique, car toute sécante parallèle à la direction considérée ne coupe la parabole qu'en un seul point à distance finie : le milieu de la corde est donc aussi à l'infini.

Nous dirons donc que le diamètre conjugué à la direction asymptotique d'une parabole est entièrement à l'infini.

THÉORIE DES DIAMÈTHES. ^55

292. Cas de deux droites parallèles. — L'éqiialion du système des deux droites étant

{ax -+- by)''--+- 7.h (ax -+- by) -^ k = o, le diamètre conjugué à la direction (a, P) a pour équation

(aa -(- ip) {ax -\- by -\- h) = o.

Tous les diamètres sont donc confondus avec la ligne des centres; mais, si l'on suppose aa -{-6^ = 0, le diamètre est indéterminé. Ces résultats sont évidents par la Géométrie.

293. Théorème. — Dans une courbe du second degré à centre, tout diamètre passe par le centre et réciproquement.

L'équation d'un diamètre étant

ce diamètre passe bien par le centre. Réciproquement, toute droite passant par le centre a une équation de la forme précédente et, par suite, est le diamètre conjugué à la direction (a, P). Les asymptotes sont regardées comme étant des diamètres singuliers.

Les équations /!p= o ci f =1 o qui déterminent le centre représentent : la première, le diamètre conjugué à la direction de l'axe des X ; la seconde, le diamètre conjugué à la direction de l'axe des y . Dans le cas de la parabole, ces deux droites sont parallèles et, comme ce résultat est indépendant de la direction des axes, on voit par là même que tous les diamètres de la parabole sont parallèles; on peut encore dire qu'ils passent par le centre de la parabole, puisque cela revient à dire que ce sont des droites parallèles à la direction asymptolique de la parabole et la réciproque est vraie; toute parallèle à cette direction est un diamètre de la parabole.

29 i. Corollaire. — Si deux cordes d'une courbe du second degré se coupent mutuellement en parties égales, leur point d^ intersection est le centre de la courbe.

En elTet, le point d'intersection de ces deux cordes est, par hypothèse, le point de rencontre des diamètres qui leur sont respectivement conjugués; c'est donc bien le centre de la conique.

295. Théorème. — La tangente en un point commun à une conique et à Vun de ses diamètres est parallèle aux cordes que ce diamètre divise en deux parties égales.

En efFet, les coordonnées {x^ y) du point M considéré vérifient les deux équations

Or, la tangente en M a pour coefficient angulaire jk^, c'est-à-dire, en vertu de l'équation de la courbe, — ~; d'autre part, la seconde

équation donne - = — -p-^ ce qui démontre la proposition.

296. Former V équation du diamètre conjugué aux cordes perpendiculaires à la direction (a, P). — Si les axes sont rectangulaires, les paramètres de la droite perpendiculaire à la direction (a, ^) sont proportionnels à [^ et — a; le diamètre demandé a donc pour équation

ou encore

Jx J y

Si les axes sont obliques, les paramètres a', ^' de la direction perpendiculaire à la direction (a, ^) sont déterminés par l'équation

aa'-f- Pî3'-H (a^'+ ^a') cosG = o; le diamètre cherché a pour équation

en éliminant a' et ^' entre ces deux équations, on obtient donc

a + pcos6 acos6-+-P

297. Relation entre les paramètres directeurs d'un diamètre et ceux des cordes qu'il partage en parties égales. — Le diamètre conjugué à la direction (a, [S) est parallèle à la droite ayant pour équation

Les paramètres directeurs a', ^' de ce diamètre sont donc définis par la relation

ou, en développant,

Aaa'-t- B(a!3'+ pa')-4- Gp^' = o.

En posant a = a'= I, ^=:m, ^'= m', cette relation prend la forme

Crnm'-\- B(m -1- m') -+- A = o.

Si m est infini, on doit supposer a = o; dans ce cas

Ba'^-Cp' =0 ou

Dans le cas de la parabole, on peut poser

A = sa-, B = zab, G = £6-

et l'on obtient

(aa'-H 6P')(rta -h 6p) = 0,

ce qui donne

aa'+ 6 P' = o.

On retrouve bien la propriété des diamètres de la parabole.

Diamètres conjugués.

298. On nomme diamètres conjugués deux diamètres tels que chacun d'eux divise en parties égales les cordes parallèles à Vautre.

Il est évident qu'une parabole n'admet pas de diamètres conjugués. Au contraire, comme nous allons le voir, toute conique à centre unique possède une infinité de systèmes de diamètres conjugués.

En eflfet, les paramètres directeurs (a', P') du diamètre conjugué aux cordes parallèles à la direction (a, ^) sont définis par l'équation

Les paramètres (a", ^") du diamètre conjugué à la direction (a', P') NiEWENGLOWSKi. — G. an., I. 17

sont définis par l'équation

L'équation (i) peut s'écrire

(3) " Sl^ + ? 4' = "■

Un ne peut supposer — = o et — = o, c est-a-dire

Aa'-+-Bp'=o, Ba'+G^'==o,

car on suppose AG — B^ ^ o et l'on n'a pas a' := jS' = o.

Il en résulte que le déterminant des équations (2) et (3) est nécessairement nul, c'est-à-dire que a[^" — ^a"= o : ce qui prouve que la direction (a", ^") coïncide avec la direction (a, (S). En d'autres termes, les paramètres (a, ^) et (a', [3'), vérifiant la relation (1), sont les paramètres directeurs de deux diamètres conjugués, et, comme on peut prendre a et [S arbitrairement, il est ainsi prouvé qu'il y a une infinité de systèmes de diamètres conjugués.

On arrive d'ailleurs à cette conclusion par la Géométrie. Gonsidérons en effet {fig- 85), par exemple, une ellipse ayant pour centrée le point O et soit AB une corde quelconque apparte- Pig. 85. nant à cette ellipse. On obtient le diamètre conjugué

à AB en joignant le centre O de l'ellipse au milieu Ç, de la corde AB. Soit B' le point diamétralement opposé à B; la corde AB' est parallèle à OG. Le diamètre OD conjugué à AB' s'obtient de même en joignant le centre au milieu D de la corde AB'; or la droite OD est parallèle à AB, donc OG et OD sont deux diamètres conjugués. Il existe donc une infinité de systèmes de diamètres conjugués dans toute conique à centre unique, car la construction précédente s'applique aussi à l'hyperbole.

299. Cordes supplémentaires. — On nomme ainsi deux cordes AB, AB' i^fig' 85) obtenues en joignant un point A pris sur une conique aux deux extrémités d'un diamètre BB'.

THÉORIE DES DIAMÈTRES. nSg

i" Deux cordes supplémentaires ont des directions conjuguées; en effet, les cordes AB, AB' sont respectivement parallèles aux diamètres OC, OD qui passent parleurs milieux, et nous venons de voir que ces diamètres sont conjugués.

2° Réciproquement, si les directions des deux cordes AB, AB' sont conjuguées, BB' est un diamètre, car la corde AB", obtenue en joignant le point A au point B" diamétralement opposé à B, a une direction conjuguée à AB; donc elle se confond avec AB'. B" coïncide donc avec B' et, par suite, BB' est un diamètre.

3° Deux cordes menées par les extrémités B, B' d'un diamètre d'une conique, parallèlement à deux directions conjuguées par rapport à cette conique, se coupent sur cette même conique. En effet, soit BA l'une de ces cordes, A le second point où elle coupe la conique {Jig. 85); la droite B'A ayant une direction conjuguée à celle de la corde BA est la seconde corde, ce qui démontre la proposition.

Ces théorèmes se démontrent facilement par le calcul.

Réduction de l'équation d'une conique (axes obliques)-

300. Coniques à centime unique, rapportées à deux diamètres conjugués. — Prenons pour axes de coordonnées deux diamètres conjugués; l'équation de la courbe sera de la forme

kx'^+o.Bxy -^ Cj2h-F = o,

puisque l'origine est le centre. Le diamètre conjugué à l'axe des x

a pour équation

or ce diamètre doit être l'axe des y\ donc B = o ; par suite, l'équation a la forme simple

kx^-^ Cy--\- F= o.

Réciproquement, quels que soient les coefficients A, C, F, pourvu que A et G soient différents de zéro, cette équation représente une conique à centre unique rapportée à deux diamètres conjugués pris pour axes de coordonnées : cela est évident. Il y a une infinité de manières d'opérer cette réduction.

26o CHAPITRE X.

L'invariant o se réduit à AC; donc la courbe représentée par cette équation est une ellipse si K. et Q ont le même signe, une hyperbole quand \ et Ci ont des signes contraires. Dans le cas de l'ellipse, pour que la courbe soit réelle il faut que A et F aient des signes contraires. Si cette condition est remplie, les deux diamètres conjugués coupent l'ellipse en des points réels. Dans le cas de l'hyperbole, un seul des deux diamètres coupe la courbe en des points réels.

30j. Equation d^une conique rapportée à un diamètre et à la tangente à Vune de ses extrémités. — Prenons pour origine des coordonnées un point O de la conique, le diamètre passant par O étant pris pour axe des x et la tangente au même point O étant l'axe des j". Le diamètre conjugué à l'axe des y a pour équation

Ba; -(- Gj-h E = o.

Mais la tangente en O ayant une direction conjuguée à celle du diamètre qui passe par le point O, l'équation précédente doit se réduire ày= o; doncB = o,E = o. Enfin, la courbe passant par l'origine : F=: o. Son équation est donc réduite à la forme

Aa?^ -I- G j'^ + 2 D 37 = o.

Réciproquement, si l'équation d'une conique a la forme précédente, l'axe des x est le diamètre conjugué à la direction de l'axe des y et, comme la courbe passe par l'origine, la tangente en ce point est précisément l'axe des y.

Pour que l'équation précédente représente une parabole, il faut et il suffit que AC = o; on ne peut supposer G = o, car l'équation représenterait alors deux droites parallèles ; donc on doit prendre A = o, et l'équation d'une parabole rapportée à un diamètre et à la tangente à l'extrémité de ce diamètre est de la forme

Gj^-f- aDa; = o.

La réduction précédente peut s'effectuer d'une infinité de manières.

Axes dans les courbes du second degré.

302. On appelle «are d'une courbe du second degré tout diamètre perpendiculaire aux cordes qu'il divise en deux parties égales. Un axe est donc un axe de symétrie et réciproquement.

La réciproque est en défaut dans le cas d'un système de deux droites rectangulaires; car chacune de ces droites est un axe de symétrie et n'est pas le diamètre des cordes parallèles à l'autre.

303. Équation aux coefficients angulaires des axes d'une conique. — Pour que m soit le coefficient angulaire d'un axe de la conique ayant pour équation

Aa-2-+-'2Barj'-i- Cy^-^ -iHx-v- lEy 4- F = o,

il faut et il suffit qu'il existe un nombre m' satisfaisant aux deux

équations

\-^B{m -\- m') -h C mm' = o,