I -t-(/n + m') cosG + mm' = o
9 désignant l'angle des axes de coordonnées ; car, en vertu de ces équations, m et m' sont les coefficients angulaires de deux directions conjuguées par rapport à la conique donnée et rectangulaires. En éliminant m' entre les deux équations précédentes on obtient
(i) (B — Gcose)m2-+-(A — C)m-i- AcosO — B = o.
Nous avons déjà discuté cette équation et prouvé qu'elle a ses racines réelles (car on suppose les coefficients A, B, C réels); les directions qu'elle détermine sont rectangulaires; ce sont les bissectrices des angles formés par les directions asymptotiques réelles ou imaginaires de la conique donnée.
Supposons qu'il s'agisse d'une conique à centre unique à distance finie : les diamètres ayant pour coefficients angulaires les racines m', m" de l'équation (i) sont des axes. Toute conique du genre ellipse ou hyperbole admet donc deux axes qui forment un système de diamètres conjugués rectangulaires.
Lorsque la conique est un cercle, l'équation (i) disparaît : tous les diamètres du cercle sont des axes de symétrie.
304. Equation du faisceau des axes d'une conique à centre. — Soit m l'une des racines de l'équation (i); le diamètre conjugué à cette direction est un axe ayant pour équation
En éliminant m entre les équations (i) et (2) on obtient l'équation du second degré
(3) (B-GcosO)/-^-(A-C)/i/;,-)-(AcosO-B)/;2=o,
qui est vérifiée par les coordonnées d'un point quelconque appartenant à l'un ou à l'autre des axes; c'est donc l'équation du faisceau des deux axes.
305. Axe de la parabole. — La parabole ne peut avoir qu'un axe, qui est le diamètre conjugué aux cordes perpendiculaires à la direction asymptotique. Si l'on suppose l'équation de la parabole écrite sous la forme
{ax -^ byY ^ •i.Yy X -^ lEy -{- F = o,
quand les coordonnées sont rectangulaires, les paramètres de la perpendiculaire à la direction asymptotique sont«, 6; donc l'axe a pour équation
On peut écrire aussi
ou encore
Si les coordonnées sont obliques, les paramètres de la direction perpendiculaire à la direction asymptotique sont a — ècosQ et b — acosQ; l'axe a donc pour équation, dans le cas général,
(a — 6cos8)/^+ (6 — a cos6)/^ = o, ou encore
(A — BcosÔ)/;p-+-(B — Acose)/y = o, ou bien
(B — Gcosô)/'^-l-(G — Bcose)/^,= o.
L'équation (i), trouvée plus haut (303), convient aussi à la parabole; en y remplaçant A, B, G par a^, ab, b^, on met l'équation (i) sous la forme
(a -h bm) [m {a — b cosô) -t- a cosG — 6] = o.
On a bien ainsi deux directions perpendiculaires dont l'une est la direction asymptotique; le diamètre conjugué à la direction asymptotique est rejeté à l'infini. L'axe est le diamètre conjugué à l'autre direction.
306. Sommets. — On nomme sommet d'une courbe du second degré tout point commun à la courbe et à l'un de ses axes. Les axes d'une ellipse réelle la coupent en quatre points réels : l'ellipse a donc quatre sommets réels. Des deux axes d'une hyperbole, un seul la coupe en des points réels, puisque les deux axes forment un système de diamètres conjugués; donc l'hyperbole a deux sommets réels et deux sommets imaginaires.
L'axe d'une parabole la rencontre en un seul point à distance finie : donc la parabole n'a qu'un sommet.
Équation en S.
307. Recherche des directions principales. — Nous allons exposer une autre méthode pour déterminer les axes d'une conique.
On nomme direction principale toute direction qui est perpendiculaire au diamètre qui lui est conjugué. D'après cela, le diamètre conjugué à une direction principale est un axe, s'il n'est pas rejeté à l'infini.
Nous poserons
'b{x,y) ^ x^-^- ixy cosO -+-JK^,
9 étant l'angle des axes.
Le diamètre conjugué à la direction (a, [^), ayant pour équation
(i) a^çj^-r- /cp'i -+- •aDa -+- •;•. E p = G,
la parallèle à ce diamètre menée par l'origine des coordonnées a pour équation
(2) xo'^-i-yo'^ = o.
La perpendiculaire à une droite peut être considérée comme étant conjuguée à celte droite par rapport à un cercle; il en résulte que la direction (a, {3) sera une direction principale de la conique donnée si l'équation
représente la même droite que l'équation (2). Il en résulte que les directions principales sont définies par l'équation
ou, sous forme entière,
Mais on peut procéder autrement : pour que les équations (2) et (3) représentent la même droite, il faut et il suffît qu'il existe un facteur S, tel que l'on ait identiquement
ou, en développant
j (A — S)a-i-(B — Scose)^ = o, ^ ' I (B — ScosO)a-i-(G — S)p =0.
Il s'agit de déterminer S de façon que ces deux équations linéaires et homogènes aient des solutions différentes de la solution a = (3 = o. S doit donc être une racine de l'équation
(6) (A — S)(C — S) — (B — Scose)2 = o.
C'est V équation en S relative à la conique donnée : elle ne dépend que des coefficients des termes du second degré de l'équation de cette conique.
308. Discussion : i'^ Les racines de l'équation en S sont toujours réelles. — En effet, le coefficient de S' étant égal à sin-Q est positif. En substituant à S, A puis C, on obtient successivement pour résultats : — (B — AcosO)^ et — (B — CcosQ)-. Supposons d'abord B — AcosO ^ o et B — Ccos9 ^ o et soit, par exemple, A^ C; en substituant à S :
on trouve les signes :
L'équation (6) a donc une racine S' plus petite que A et une racine S" plus grande que G.
2° Supposons B = AcosO, B — CcosO^o. Dans ce cas, l'équation (6) a encore deux racines inégales, dont l'une est égale à A.
TUÉORIR DES DIAMÈTRES. ^65
3° 13 =-- C cos 0, B — A cosO ^ o. L'une des racines est égale à C,
l'autre est différente de C.
R 4° Enfin, supposons A = C= — x- Dans ce cas, l'équation (6)
devient
(A — S)2sin26 = o;
ses deux racines sont égales à A.
En résumé, les racines de l'équation (6) sont réelles et inégales, excepté dans le cas du cercle; alors, elles sont toutes les deux égales à A.
Lorsque 0 = go", l'équation en S se réduit à
309. Théouème. — i'^ A une racine simple de Véquation en S correspond une direction principale unique.
Soit S' une racine simple et supposons d'abord cette racine différente de A et de C; les deux équations (5) deviennent identiques quand on y remplace S par S'. L'une quelconque de ces équations définit une direction principale unique qui est parallèle à la droite ayant pour équation
(A — S')a; + (B — S'cose)jK = o.
Supposons S'=A et, par suite, B = A'cos9. La première des équations (5) disparaît identiquement; la seconde se réduit à (G — A)^' = o o\\y=o.
2° A une racine double correspondent toutes les directions du
plan. — En effet, si A = C = — ^5 en remplaçant S par A, les
deux équations disparaissent. Toutes les directions d'un plan sont, en effet, des directions principales pour tout cercle tracé dans ce plan.
310. Equation de Vaxe conjugué à une direction principale. — L'axe conjugué à la direction principale (a, P) fournie par une racine S a pour équation
S(a:4'^-4-7«];â)-'-2Da-+-2E[J =o.
Pour que cet axe soit une droite déterminée et à distance finie, il faut et il suffit que l'un des coefficients S^x: S'^a soit différent de zéro et, comme on ne peut supposer 'l'g,= o, ^'3= o, il est nécessaire et suffisant que la racine S soit différente de zéro. Or l'équation (6) ne peut avoir de racine nulle que si AG — B^= o. Donc, une courbe du genre ellipse ou hyperbole a devix axes. (Nous savons déjà que le cercle en a un€ infinité.)
En ce qui concerne la parabole, l'une des racines de l'équation (6)
est nulle ; à cette racine correspond la direction asymptotique ; l'autre
est égale à
A-i- C — gtBcose
elle ne peut être nulle, car en remplaçant, par exemple, A, B, C par a'^, db, ^2, le numérateur devient a"^ — lab cosO + b^, et il ne peut être nul, si l'on suppose a, b, c réels.
La parabole n'a donc qu'un axe, comme nous le savions déjà.
Enfin, dans le cas de deux droites parallèles, on trouve un axe confondu avec la ligne des centres; l'axe conjugué à la direction asymptotique est indéterminé.
311. Théorème. — Les directions principales qui correspondent à deux racines distinctes de V équation en S sont rectangulaires.
En effet, soient S, S' les deux racines de l'équation en S, que nous supposons inégales. On a, en nommant a, ^ et a', [3' les paramètres des directions principales correspondantes,
(?a dt d%' d'x'
et
d'où l'on tire
et, en retranchant membre à membre,
TnÉORIE DES DIAMÈTRES. 267
el, comme on suppose S — S'^z:^ o :
ce qui démontre la proposition, car cette équation exprime que les directions considérées sont conjuguées dans le cercle. On a aussi, d'après ce qui précède,
ce qui prouve que les deux directions principales sont conjuguées par rapport à la conique.
312. Corollaire. — Les axes sont parallèles aux directions principales; donc l'équation
ou, plus simplement, si les coordonnées sont rectangulaires,
représente le faisceau des parallèles aux axes de la conique, menées par l'origine des coordonnées.
313. Nouvelle forme de l'équation du faisceau des axes. — Pour plus de simplicité, supposons les coordonnées rectangulaires.
Soient a, p les paramètres directeurs d'un axe; cet axe est le diamètre conjugué des cordes qui lui sont perpendiculaires; son équation est donc
a ~ p ' mais la direction (a, P) est principale; donc
En éliminant a et p entre ces deux équations, on obtient
c'est-à-dire
