L'équation en S exprime que le polynôme
est un carré parfait; si l'on fait une substitution linéaire telle que
cf(^,7) = *(X,Y), on aura identiquement
? (•^> jr ) - S (X-Ï + 2^7/ COS 0 M- j2 ) = <ï, (X, Y) — S (X2 4- 2 XY COS0 + Y2).
Le discriminant du second membre est égal à celui du premier membre multiplié par le carré du module de la substitution; donc les racines de l'équation en S ne changent pas. C'est d'ailleurs ce
que nous savons déjà, puisque leur somme est égale à .\^ et leur
, . , 8 produit a -r— -r«
315. On traiterait d'une manière analogue ce problème : trouver un système de diamètres conjugués communs à deux coniques données; il suffirait de remplacer la fonction ^{x^y^ relative au cercle par la fonction ^i(a;, y) relative à la seconde conique; mais l'équation en S obtenue en égalant à zéro le discriminant de la forme cp (rr, j') — Scpi (a:-, y) n'a plus nécessairement ses racines réelles. Nous allons reprendre d'ailleurs ces questions à un point de vue différent et montrer leur lien intime avec la théorie de l'inYolution.
Involution.
316. Nous rappellerons d'abord les propriétés fondamentales de l'involution. Considérons deux points variables M, M' situés sur un axe fixe X'X et
soient x et x' les abscisses de ces points, comptées à partir d'une origine fixe. On dit que M et M' décrivent une involution si leurs abscisses sont liées par une relation de la forme
(i) A -H B (a? -h a?') -i- Ca7^'= o.
S'il en est ainsi, à tout point M correspond un point M' et réciproquement. Quand le point M occupe une position particulière A, le point M' occupe une position déterminée B; ce qu'il importe de remarquer, et c'est là ce qui distingue l'involution de l'homographie, c'est que, si le point M vient en B,
le point M' sera en A, de sorte que les points M et M' ne peuvent être distingués l'un de l'autre; ils forment, en quelque sorte, un couple.
Il y a sur la droite X'X deux points doubles de l'involution définie par l'équation (i); leurs abscisses sont les racines de l'équation obtenue en posant X = x' , savoir :
(2) A-f-îBa^-hCa-ï = 0.
On voit que ces points doubles sont réels si AC — B-<o, imaginaires si AG — Bî>o.
L'équation (1) peut prendre une forme très simple au moyen d'un changement d'origine. On peut, en effet, l'écrire ainsi :
{Cx -^ B) (Ca^'M- B) = B'- - AC,
et, par suite, si l'on prend pour origme le point ayant pour abscisse — p>
c'est-à-dire le milieu du segment déterminé par les points doubles de l'involution, en posant
l'équation (i) prend la forme plus simple
