B2— AC ,, ,,, .. ' 'A . A

— = /i2; l'equation précédente devient

(4) XX'=/i2

et, par suite, les abscisses des points doubles sont égales à -f- A et à — A et l'équation précédente exprime cette propriété fondamentale de l'involution : les points doubles d'une involution sont conjugués harmoniques par rapport à deux points correspondants quelconques M, M' et, réciproquement, les couples de points conjugués harmoniques par rapport à deux points fixes forment une involution.

Si les points doubles sont imaginaires, la relation (3) prend la forme

(5) xx'=-/i^

les abscisses des points doubles étant hi et — /u', et l'on peut encore dire que deux points correspondants M, M' forment, avec les points doubles, une division harmonique.

Il est facile de réaliser l'involution; en effet, il suffit de couper par une droite le système des cercles qui passent par deux points fixes A, B. Soient

M et M' les points d'intersection de l'un de ces cercles avec la droite X'X, et P le point de rencontre de X'X et de AB. On a PM.PM'= PA.PB.

Si les points A et B sont d'un même côté par rapport à X'X, on pourra mener par ces points deux cercles tangents à X'X; les points de contact (0, co' seront les points doubles; nous savons déjà que tous les cercles de la famille considérée coupent à angle droit le cercle décrit sur ww' comme diamètre.

Une involution est déterminée quand on connaît deux couples de points correspondants M, M'; N, N'.

En effet, en remplaçant dans l'équation (i) x et x' successivement par les abscisses des points donnés, on a deux relations pour déterminer les rapports de A, B, G. D'ailleurs, cette conclusion se tire encore de cette remarque : faisons passer un cercle quelconque par M et M' et un second cercle par N, N' et un point pris arbitrairement sur le premier, et soit P le point de rencontre de la droite X'X, sur laquelle sont tracés les points donnés, avec l'axe radical de ces deux cercles. Tout cercle passant par les points communs aux deux premiers coupera X'X en deux points R, R' tels que